Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-04-2013 - 17:30


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Quy đồng mẫu số, bđt đã cho tương đương với  

                $\frac{\sum \left [ 4+bc-2(b+c) \right ]}{(2-a)(2-b)(2-c)}\geq 3$

         $\Leftrightarrow \frac{12+(ab+bc+ac)-4(a+b+c)}{8-abc-4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)}\geq 3$

         $\Leftrightarrow 12-3abc-8(a+b+c)+5(ab+bc+ac)\leq 0$

Đặt theo ngôn ngữ $p,q,r$ ta có $p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}$

Thay vào bđt trên ta có $\Leftrightarrow 12-3r-8p+\frac{5(p^2-3)}{2}\leq 0$

                                      $\Leftrightarrow \frac{9}{2}-3r-8p+\frac{5p^2}{2}\leq 0$

                                      $3r+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2} \geq 0$

Áp dụng bđt Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4p.\frac{p^2-3}{2}-p^3}{9}=\frac{p^3-6p}{9}$

                                $\Rightarrow 3r\geq \frac{p^3-6p}{3}$

Do đó ta cần chứng minh $ \frac{p^3-6p}{3}+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2}\geq 0$

                                 $\Leftrightarrow (2p-3)(p-3)^2 \geq 0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $p^2=(a+b+c)^2>a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}> \frac{3}{2}$

Do đó ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

 

 

Ta có: $$\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$$ với mọi $0<a<2$
Suy ra ok


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Cách 1:

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{1}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^4-a^6}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^4-\sum a^6}=\frac{3(\sum a^2)}{2\sum a^4 -\sum a^6}$

AM-GM

$\sum a^6+\sum a^2 \ge 2\sum a^4$

Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$

Cách 2:

BĐT tương đương

$\sum \frac{a}{2-a}\ge 3$

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^3-a^4}\ge \frac{3\sum a^2}{2\sum a^3 -\sum a^4}$

AM-GM:

$\sum a^4+\sum a^2 \ge 2\sum a^3$

Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh