Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-04-2013 - 17:30
Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-04-2013 - 17:30
Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
Quy đồng mẫu số, bđt đã cho tương đương với
$\frac{\sum \left [ 4+bc-2(b+c) \right ]}{(2-a)(2-b)(2-c)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{12+(ab+bc+ac)-4(a+b+c)}{8-abc-4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)}\geq 3$
$\Leftrightarrow 12-3abc-8(a+b+c)+5(ab+bc+ac)\leq 0$
Đặt theo ngôn ngữ $p,q,r$ ta có $p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}$
Thay vào bđt trên ta có $\Leftrightarrow 12-3r-8p+\frac{5(p^2-3)}{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{9}{2}-3r-8p+\frac{5p^2}{2}\leq 0$
$3r+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2} \geq 0$
Áp dụng bđt Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4p.\frac{p^2-3}{2}-p^3}{9}=\frac{p^3-6p}{9}$
$\Rightarrow 3r\geq \frac{p^3-6p}{3}$
Do đó ta cần chứng minh $ \frac{p^3-6p}{3}+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow (2p-3)(p-3)^2 \geq 0$
Nhưng bđt trên luôn đúng do $p^2=(a+b+c)^2>a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}> \frac{3}{2}$
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
Ta có: $$\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$$ với mọi $0<a<2$
Suy ra ok
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
Cách 1:
Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^4-a^6}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^4-\sum a^6}=\frac{3(\sum a^2)}{2\sum a^4 -\sum a^6}$
và AM-GM
$\sum a^6+\sum a^2 \ge 2\sum a^4$
Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$
Cách 2:
BĐT tương đương
$\sum \frac{a}{2-a}\ge 3$
Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{a}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^3-a^4}\ge \frac{3\sum a^2}{2\sum a^3 -\sum a^4}$
AM-GM:
$\sum a^4+\sum a^2 \ge 2\sum a^3$
Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh