Chủ đề này có 5 trả lời

[Sara Micky]

Bài 1 Cho P là điểm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng P cắt (O) tại A,B sao cho B nằm giữa A,P. PC là một tiếp tuyến của (O). CD là đường kính của (O). DB cắt OP tại E. CE cắt (O) tại F khác C. Giả sử F là trung điểm CE. Chứng minh rằng tam giác CED cân

 

Bài 2 Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngaoì tam giác ABC các tam giác BAD và CAE sao cho các góc ∠DAB, ∠EAC không đổi và ∠DBA   + ∠EAC = 180∘. Chứng minh rằng DE luôn đi qua điểm cố định

 

Bài 3 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp I tiếp xúc BC,CA,AB tại D, E, F. FG, EH là đường kính của (I). DG, DH cắt EF tại P, Q. DI cắt EF tại R. Chứng minh rằng RE.RP = RF.RQ

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn (K) tiếp xúc CA, AB, tại E, F. EF cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N. Chứng minh KN vuông góc với BC

bài 5 Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc đoạn BC. O₁, O₂ là tâm đường tròn ngoaị tiếp tam giác ABD, ACD. O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO₁O₂. Chứng minh O'D vuông góc với BC khi chỉ khi AD đi qua tâm đường tròn 9 điểm Euler của tam giác ABC

 

bài 6 Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ha, Hb, Hc là trực tâm tam giác AEF, BFD, CDE.

a)      Chứng minh rằng  DHa, BHb, CHc đồng quy

b)      Gọi Oa, Ia là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác AEF. Tương tự có Ob,Oc.Ib,Ic. Chứng minh rằng OaIa, ObIb, OcIc đồng quy

 

 Bài 7 Cho tam giác ABC trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D, E, F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GBC, GCA, GAB. Chứng minh O là trọng tâm tam giác DEF

[henry0905]

Bài 1 Cho P là điểm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng P cắt (O) tại A,B sao cho B nằm giữa A,P. PC là một tiếp tuyến của (O). CD là đường kính của (O). DB cắt OP tại E. CE cắt (O) tại F khác C. Giả sử F là trung điểm CE. Chứng minh rằng tam giác CED cân

Không thể giả sử F là trung điểm CE vì E nằm trong (O), còn C, F thuộc (O). Đề này hình như có nhầm lẫn

[nguyenthehoan]

Bài 1 Cho P là điểm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng P cắt (O) tại A,B sao cho B nằm giữa A,P. PC là một tiếp tuyến của (O). CD là đường kính của (O). DB cắt OP tại E. CE cắt (O) tại F khác C. Giả sử F là trung điểm CE. Chứng minh rằng tam giác CED cân

 

Bài 2 Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngaoì tam giác ABC các tam giác BAD và CAE sao cho các góc ∠DAB, ∠EAC không đổi và ∠DBA   + ∠EAC = 180∘. Chứng minh rằng DE luôn đi qua điểm cố định

 

Bài 3 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp I tiếp xúc BC,CA,AB tại D, E, F. FG, EH là đường kính của (I). DG, DH cắt EF tại P, Q. DI cắt EF tại R. Chứng minh rằng RE.RP = RF.RQ

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn (K) tiếp xúc CA, AB, tại E, F. EF cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N. Chứng minh KN vuông góc với BC

bài 5 Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc đoạn BC. O₁, O₂ là tâm đường tròn ngoaị tiếp tam giác ABD, ACD. O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO₁O₂. Chứng minh O'D vuông góc với BC khi chỉ khi AD đi qua tâm đường tròn 9 điểm Euler của tam giác ABC

 

bài 6 Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ha, Hb, Hc là trực tâm tam giác AEF, BFD, CDE.

a)      Chứng minh rằng  DHa, BHb, CHc đồng quy

b)      Gọi Oa, Ia là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác AEF. Tương tự có Ob,Oc.Ib,Ic. Chứng minh rằng OaIa, ObIb, OcIc đồng quy

 

 Bài 7 Cho tam giác ABC trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D, E, F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GBC, GCA, GAB. Chứng minh O là trọng tâm tam giác DEF

Bài 3) Ta có $FEGH$ là hình chữ nhật nên $RE=NH$ và $RF=NG$

 

Có $HG//PQ$ nên áp dụng định lí Talet 

 

$\frac{HN}{RQ}=\frac{GN}{RP}$ từ đó ta có dpcm.

 

Bài 4) Xem phần mở rộng bài toán $10$ tại đây:http://diendantoanho...hlinksro/page-2

 

Bài 5)Ta có $D,A$ đối xứng qua $O_{1}O_{2}$ nên gọi $K$ đối xứng $O'$ qua $O_{1}O_{2}$ thì $K$

 

là tâm ngoại tiếp $\Delta DO_{1}O_{2}$.Từ đó suy ra $DO'$ đi qua tâm Ole của $\Delta DO_{1}O_{2}$

 

Ta có $\Delta DO_{1}O_{2}\sim \Delta ABC$

 

Nên $DO'\perp BC\Leftrightarrow \widehat{ADO'}=\widehat{HAD}$  ($H$ là trực tâm tam giác $ABC$)

 

$\Leftrightarrow$ $AD$ đi qua tâm Ole của $\Delta ABC$ (vì $\Delta ABC\sim \Delta DO_{1}O_{2}$

 

Bài 6)Hình như có lỗi 

 

Bài 7) Bổ đề về tam giác trực giao:Hai tam giác $ABC$ và $DEF$ trực giao với nhau và có tâm trực giao 

 

lần lượt là $X,Y$.Khi đó nếu tọa độ tỉ cự của $X$ với $\Delta ABC$ là ($\alpha ,\beta ,\gamma$) thì tọa độ tỉ cự của $Y$

 

với $\Delta DEF$ cũng là ($\alpha, \beta, \gamma$)

 

Áp dụng trực tiếp bổ đề với chú ý hai tam giác $ABC$ và $DEF$ trực giao và $G$ có tọa độ tỉ cự với $\Delta ABC$

 

là $(1,1,1)$ và $G,O$ thứ tự là các tâm trực giao hai tam giác.Done

[perfectstrong]

nguyenthehoan, em chứng minh cho anh tính chất 2 tam giác trực giao em nói được không?

[nguyenthehoan]

nguyenthehoan, em chứng minh cho anh tính chất 2 tam giác trực giao em nói được không?

Vâng ạ

 

Ta sẽ chứng minh trong trường hợp hai tâm trực giao nằm trong các tam giác.(Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự)

 

Để chứng minh bài toán ta cần có bổ đề quen thuộc sau:

 

Với $\Delta ABC$,và điểm $M$ bất kì trong tam giác,thì

 

$\overrightarrow{MA}.S_{BMC}+\overrightarrow{MB}.S_{CMA}+\overrightarrow{MC}.S_{AMB}=\overrightarrow{0}$

 

Áp dụng:Giả sử hai tam giác $ABC$ và $DEF$ trực giao.Các đường vuông góc từ $A,B,C$ tới $EF,DF,DE$ đồng quy tại $Y$,

 

Các đường vuông góc từ $D,E,F$ tới $BC,CA,AB$ đồng quy tại $X$

 

Ta phải cm Tọa độ tỉ cự của $X$ với $A,B,C$ và tọa độ tỉ cự của $Y$ với $D,E,F$ như nhau.

 

Áp dụng bổ đề ta phải chứng minh:

 

$\frac{S_{BXC}}{S_{YEF}}=\frac{S_{AXC}}{S_{FYD}}=\frac{S_{AXB}}{S_{YDE}}$

 

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đầu...

 

$\Leftrightarrow \frac{XB.XC\sin BXC}{YE.YF\sin FYE}=\frac{XA.XC\sin AXC}{YF.YD\sin FYD}$

 

$\Leftrightarrow \frac{XB.\sin BXC}{YE.\sin FYE}=\frac{XA.\sin AXC}{YD.\sin FYD}$

 

$\Leftrightarrow \frac{XB}{XA}.\frac{YD}{YE}=\frac{\sin FYE}{\sin FYD}\frac{\sin AXC}{\sin BXC}$ 

 

$\Leftrightarrow \frac{XB}{XA}.\frac{\sin YED}{\sin YDE}=\frac{\sin FYE}{\sin FYD}\frac{\sin AXC}{\sin BXC}$ (*)

 

Chú ý các tứ giác nội tiếp ta có 

 

(*) $\Leftrightarrow \frac{XB}{XA}.\frac{\sin XCA}{\sin XCB}=\frac{\sin BAC}{\sin ABC}\frac{\sin AXC}{\sin BXC}$

 

Nhưng đẳng thức này hiển nhiên đúng khi áp dụng định lí Sin cho các tam giác $XAC$ và $XBC$.

 

Ta có dpcm.

 

P/S:Ko biết up hình lên nên làm tạm cái này để anh dễ theo dõi thứ tự các đỉnh

 

Hình:http://upanh.com/vie...&id=0rt20xcd8yb

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 30-04-2013 - 07:51

[Sara Micky]

 

Bài 5)Ta có $D,A$ đối xứng qua $O_{1}O_{2}$ nên gọi $K$ đối xứng $O'$ qua $O_{1}O_{2}$ thì $K$

 

là tâm ngoại tiếp $\Delta DO_{1}O_{2}$.Từ đó suy ra $DO'$ đi qua tâm Ole của $\Delta DO_{1}O_{2}$

 

vì sao có được điều này vậy anh ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sara Micky: 03-05-2013 - 00:08