Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $x,y,z$ thực không âm thỏa $z=\max \{x,y,z\}$ và $xy+xz+yz>0$. Tìm min của biêu thức $$P=\frac{x}{y+z}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-05-2013 - 18:33

[WhjteShadow]

Hầy lâu lắm mới ghé thăm b0x THPT Vẫn sôi nổi thật

 

Cho $x,y,z$ thực không âm thỏa $z=\max \{x,y,z\}$ và $xy+xz+yz>0$. Tìm min của biêu thức $$P=\frac{x}{y+z}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$$

 

 

 Để ý với điều kiện $x,y,z$ không âm, ta nghĩ ngay đến chuyện dấu bằng xảy ra khi có 1 số bằng 0. Lần mò thêm tý nữa, ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra khi $y=0,z=x$ và $P=4$.

 

Lại nhìn vào biểu thức $P$ và điều kiện $z=max\{x;y;z\}$, thật tự nhiên ta nghĩ đến việc đưa biểu thức về 1 biến để khảo sát hàm số, cụ thể là $\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$. Số hạng này mang tính đối xứng giữa 2 biến $x,y$ nên ta cũng sẽ đi tìm cách đánh giá đưa $P$ về đối xứng the0 $x,y$ bằng việc sử dụng 1 số bất đẳng thức quen thuộc

Áp dụng liên tiếp AM-GM ta có :

$$\frac{x}{y+z}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq 2\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\right)-1$$

$$=4\left(\frac{x}{2\sqrt{x(y+z)}}+\frac{y}{2\sqrt{y(x+z)}}\right)-1$$

$$\geq \frac{4(x+y)}{x+y+z}-1=\dfrac{4}{1+\frac{z}{x+y}}-1$$

Giờ thì đặt $\frac{z}{x+y}=t^3$ với $t\geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ ta có:

$$P\geq \frac{4}{1+t^3}+3t-1=f(t)$$

Ta có $f'(t)=4.\frac{(t-1)(t^2+t-1)(t^3+2t+1)}{(t^3+1)^2}$  nhưng do $t^2+t-1>0$ (Do $t\geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$) nên $f(t)$ đạt min khi $t=1$ và $P=4$

Kết thúc chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $x=z,y=0$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 02-05-2013 - 19:58