Chủ đề này có 4 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c dương thoã mãn $9\sum a^{4}-25\sum a^{2}+8= 0$ Tìm GTNN P=$\sum \frac{a^{2}}{b+2c}$

[Supermath98]

Cho a,b,c dương thoã mãn $9\sum a^{4}-25\sum a^{2}+8= 0$ Tìm GTNN P=$\sum \frac{a^{2}}{b+2c}$

Bạn viết rỗ biểu thức tìm Min được k? 

$P= \frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}$. Mình nhầm nên viết sai!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 19-05-2013 - 11:32

[Supermath98]

Cho a,b,c dương thoã mãn $9\sum a^{4}-25\sum a^{2}+8= 0$ Tìm GTNN P=$\sum \frac{a^{2}}{b+2c}$

Áp dụng SCHWARZ ta có $P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( a+b+c \right )}= \frac{a+b+c}{3}$

Theo giả thiết ta có $9\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )-25\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+8=0$

$VT\geq \frac{9}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-25\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )+8= 8-\frac{41}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )= 8-\frac{41}{4}\ast 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq 8-\frac{41}{4}\left ( a+b+c \right )^{2}$

Suy ra $0\geq 8-\frac{41}{4}\left ( a+b+c \right )^{2}\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{\frac{32}{41}}$  (do a,b,c dương)

Từ đó suy ra $P\geq \sqrt{\frac{32}{396}}$. Dấu bằng xảy ra khi $a= b= c$.

 

P/s: Số nó hơi ảo nên các bạn kiểm tra giúp mình xem mình sai chỗ nào cái nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 19-05-2013 - 11:50

[Juliel]

Áp dụng SCHWARZ ta có $P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( a+b+c \right )}= \frac{a+b+c}{3}$

Theo giả thiết ta có $9\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )-25\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+8=0$

$VT\geq \frac{9}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-25\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )+8= 8-\frac{41}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )= 8-\frac{41}{4}\ast 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq 8-\frac{41}{4}\left ( a+b+c \right )^{2}$

Suy ra $0\geq 8-\frac{41}{4}\left ( a+b+c \right )^{2}\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{\frac{32}{41}}$  (do a,b,c dương)

Từ đó suy ra $P\geq \sqrt{\frac{32}{396}}$. Dấu bằng xảy ra khi $a= b= c$.

 

P/s: Số nó hơi ảo nên các bạn kiểm tra giúp mình xem mình sai chỗ nào cái nha!

$9(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq \frac{9}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}!$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19-05-2013 - 12:56

[Juliel]

Cho a,b,c dương thoã mãn $9\sum a^{4}-25\sum a^{2}+8= 0$ Tìm GTNN P=$\sum \frac{a^{2}}{b+2c}$

Nếu bỏ cái điều kiện a,b,c dương đi thì mình làm được !

Áp dụng Schawz (Schawz dùng cho mọi số thực)

$P\geq \frac{a+b+c}{3}$

Từ giả thiết suy ra :

$9[(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})]-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8=0\Rightarrow 9(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8=18(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq 6(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Đặt $a^{2}+b^{2}+c^{2}=t$ thì $9t^{2}-25t+8\leq 6t^{2}\Leftrightarrow 3t^{2}-25t+8\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq t\leq 8\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}$

Do đó $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1\Rightarrow -1\leq a+b+c\leq 1\Rightarrow a+b+c\geq -1$

Suy ra $P \geq \frac{-1}{3}$

$MinP=\frac{-1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{-1}{3}$

 

Bạn tham khảo thôi nhé ! Vì đây là mình làm khi bỏ điều kiện a,b,c >0 rồi, chẳng biết đúng hay sai !