Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$
2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 20-05-2013 - 06:23
Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$
2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 20-05-2013 - 06:23
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$
2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$
Ta có lời giải như sau:
Thay x bởi 2x vào 1) ta có $f(2x)=2xf(\frac{1}{2x})$.
Thay x=y vào 2) ta được $f(2x)=2f(x)+1\Leftrightarrow 2xf(\frac{1}{2x})=2f(x)+1$.
Thay x,y bởi 1/2x ta được $f(\frac{1}{x})=2f(\frac{1}{2x})+1\Leftrightarrow \frac{1}{x}f(x)=2f(\frac{1}{2x})+1$.
Như vậy ta có hệ :
$\left\{\begin{matrix} 2f(x)-2xf(\frac{1}{2x})=-1\\\frac{1}{x}f(x)-2f(\frac{1}{2x})=1 \end{matrix}\right.$.
Nhân 2 vế phương trình sau với x rồi lấy phương trình đầu trừ cho phương trình sau theo vế ta được f(x)=-x-1. Thử lại thấy thoả.
Kết luận:f(x)=-x-1. (có jì sai nhớ nói jùm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 20-05-2013 - 10:02
Bài 11 : Tìm $f:\mathbb{R}\setminus 0\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
1) $f(x)=xf(\frac{1}{x})$
2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+1$
Từ $(2)$ thay $x,y$ bằng $\dfrac{1}{2x}$ kết hợp với $(1)$ có:
$f\left ( \dfrac{1}{x} \right )=2f\left ( \dfrac{1}{2x} \right )+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}f(x)=2 \cdot \dfrac{1}{2x}f(2x)+1$
$\Leftrightarrow f(x)=f(2x)+x\Leftrightarrow f(x)=2f(x)+1+x\Leftrightarrow f(x)=-x-1$
Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=-x-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 20-05-2013 - 14:24
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$(f(x))^2=f(x+y).f(x-y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 20-05-2013 100 bài hàm |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh