Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 23-05-2013 - 20:29

[Idie9xx]

Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.

Cho $P(x;y;z)$ có tính chất $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.

$P(0;0;0) \Rightarrow f(0)=0$

$P(x;y;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})=f(x+y+\frac{1}{4})$

$P(x+y;0;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x+y})=f(x+y+\frac{1}{4})$

$\Rightarrow f(\sqrt{x+y})=f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})$

Đặt $g(x)=f(\sqrt{x})$ có $g(x+y)=g(x)+g(y)$ (cộng tính)

Với $x>y$ có $g(x)=g(x-y)+g(y)>g(y)$ (đơn điệu)

$\Rightarrow g(x)=c \cdot x \Rightarrow f(x)=c \cdot x^2$ ( với hằng số $c\geq 0$ ) (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=c \cdot x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 21:54