Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 23-05-2013 - 20:29
Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 23-05-2013 - 20:29
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 21 ; Tìm tất cả các hàm $f:[0;+\infty )\rightarrow [0;+\infty )$ thỏa : $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.
Cho $P(x;y;z)$ có tính chất $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz})=f(x+y+z)$.
$P(0;0;0) \Rightarrow f(0)=0$
$P(x;y;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})=f(x+y+\frac{1}{4})$
$P(x+y;0;\frac{1}{4}) \Rightarrow f(x+y+\frac{1}{4})+f(\sqrt{x+y})=f(x+y+\frac{1}{4})$
$\Rightarrow f(\sqrt{x+y})=f(\sqrt{x})+f(\sqrt{y})$
Đặt $g(x)=f(\sqrt{x})$ có $g(x+y)=g(x)+g(y)$ (cộng tính)
Với $x>y$ có $g(x)=g(x-y)+g(y)>g(y)$ (đơn điệu)
$\Rightarrow g(x)=c \cdot x \Rightarrow f(x)=c \cdot x^2$ ( với hằng số $c\geq 0$ ) (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=c \cdot x^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 21:54
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh