Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 14:10
Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 14:10
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$
$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$
$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$
$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
f(x)=0 \\
f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 24-05-2013 - 16:52
$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$
$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$
$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
f(x)=0 \\
f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn
Đề bài cho là $R^+$ nhưng mà làm vậy vẫn được à bạn.
$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$
$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$
$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
f(x)=0 \\
f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn
Bài này bạn làm nhìn qua có vẻ đúng nhưng thật ra là thiếu .
Phần màu đỏ nếu bạn muốn thay như thế thì cần CM $f$ là 1 toàn ánh .
@vuminhhoang : Đề cho $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thì mới thay $y=x^2$ được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-05-2013 - 18:11
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài 22 : Tìm $f : \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa $f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)y$
Thay $y$ bằng $x^2-y-f(x)$ có $f(x^2-y)=f(f(x)+y)+4f(x)(x^2-y-f(x))$
$\Rightarrow 4f(x)y=4f(x)(y-x^2+f(x)) \Rightarrow f(x)=x^2$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=x^2$
$y=-f(x)\Rightarrow f(x^2+f(x))-4f(x)^2=f(0)$
$y=x^2\Rightarrow f(x^2+f(x))=f(0)+4x^2f(x)$
$\Rightarrow 4f(x)^2=4x^2f(x)\Rightarrow 4f(x)(f(x)-x^2)=0$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}
f(x)=0 \\
f(x)=x^2
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa mãn
Hàm $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ nên $f(0)$ không có giá trị hay là không được dùng
@namcpnh : Ừ quên, $f(0)$ không tồn tại.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 25-05-2013 - 12:22
Do kiểm đề không kĩ nên đề lần này sai ( đổi từ $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ thành $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ) . Chân thành xin lỗi các mem.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh