Bài 26 : Cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa $f(f(n))=2n$ . Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của $f(2014)$.
#1
Đã gửi 25-05-2013 - 13:11
- nhungvienkimcuong yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 25-05-2013 - 21:10
Bài 26 : Cho hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa $f(f(n))=2n$ . Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của $f(2014)$.
Dễ thấy $f$ đơn ánh.
Ta có $2f(n)=f(f(f(n)))=f(2n)$. Cho $n=0$ ta có $f(0)=0$
Ta xây dựng 1 hàm $f$ thỏa mãn như sau:
Cho hai tập $A$ và $B$ thỏa $A\cap B=\varnothing$ và $A\cup B=\left \{ 2k+1|k \in \mathbb{N} \right \}$
Khi đó chỉ cần cho $f(a_i)=b_i,f(b_i)=2a_i$ với $a_i \in A,b_i \in B$ là được
Ta có $f(2014)=2f(1007)$ vậy cho $1007 \in A,1 \in B$ và $f(1007)=1$ thì $f(2014)=2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(2014)$ cần tìm là $2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 25-05-2013 - 21:11
- namcpnh và nhungvienkimcuong thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh