Bài 5. Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn $(2^k)!=2^nm$.
(Albania IMO TST 2013)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn $(2^k)!=2^nm$.
Bắt đầu bởi Zaraki, 26-05-2013 - 09:02
albania imo tst 2013
#1
Đã gửi 26-05-2013 - 09:02
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 26-05-2013 - 09:57
nguyenthehoan
-
- Thành viên
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Bài 5. Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn $(2^k)!=2^nm$.
(Albania IMO TST 2013)
Xét $v_{2}((2^{k})!)=2^{k}-s_{2}(2^{k})$
Trong đó $s_{2}(p)$ là tổng các chữ số của $p$ viết trong hệ cơ số $2$.
Hay $v_{2}((2^{k})!)=2^{k}-1$
Vậy $n\leq 2^{k}-1$.Đáp số $n\in {0,1,...,2^{k}-1}$ và $m=\frac{(2^{k})!}{2^{n}}$.
- Zaraki, chrome98 và nhatquangsin thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: albania imo tst 2013
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. Biết $OA=AH$. Tính góc $BAC$.Bắt đầu bởi Zaraki, 26-05-2013  albania imo tst 2013
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$ f( x^{3} )+ f(y^{3}) = (x+y)(f(x^{2} )+f(y^{2} )-f(xy )) $Bắt đầu bởi Zaraki, 26-05-2013 albania imo tst 2013
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$a^x+b^x+c^x+d^x \ge \frac 1a+ \frac 1b+ \frac 1c+ \frac 1d$Bắt đầu bởi Zaraki, 26-05-2013 albania imo tst 2013
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm một số có ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó và tổng các chữ số của nó là nhỏ nhấtBắt đầu bởi Zaraki, 26-05-2013 albania imo tst 2013
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
