Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Bài toán 34 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x$

 

Bài giải :

 

- Đặt $\frac{x-3}{x+1}=\frac{3+u}{1-u}=>x=\frac{u-3}{u+1}$

=> $\frac{3+x}{1-x}=\frac{3+\frac{u-3}{u+1}}{1-\frac{u-3}{u+1}}=u$ (1)

Suy ra: $f(\frac{3+u}{1-u})+f(u)=\frac{u-3}{u+1}$

=>$f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}$(2)

- Đặt $\frac{3+x}{1-x}=v => x=\frac{v-3}{v+1}$

=> $f(v)+f(\frac{v-3}{v+1})=\frac{\frac{v-3}{v+1}-3}{\frac{v-3}{v+1}+1}=\frac{v+3}{1-v}$

=>$f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{x+3}{1-x}(3)$

- Lấy (2) cộng (3) rồi trừ (1), vế theo vế, ta được:

$2f(x)=\frac{x-3}{x+1}+\frac{x+3}{1-x}-x$ <=> $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$
* Thử lại thấy đúng
$\boxed{KL}$ $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-05-2013 - 19:31

[thukilop]

Bài toán 34 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x$

Em gởi cho anh Nam cách 1 (cách này theo em không được hay), giờ trưa rồi, để chiều hoặc khi nào có ĐK em gửi a cách 2 hay hơn nhiều   

$\boxed{\text{First Solution}}$

 

- Đặt $\frac{x-3}{x+1}=\frac{3+u}{1-u}=>x=\frac{u-3}{u+1}$

 

=> $\frac{3+x}{1-x}=\frac{3+\frac{u-3}{u+1}}{1-\frac{u-3}{u+1}}=u$ (1)

 

Suy ra: $f(\frac{3+u}{1-u})+f(u)=\frac{u-3}{u+1}$

 

=>$f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}$(2)

 

- Đặt $\frac{3+x}{1-x}=v => x=\frac{v-3}{v+1}$

 

=> $f(v)+f(\frac{v-3}{v+1})=\frac{\frac{v-3}{v+1}-3}{\frac{v-3}{v+1}+1}=\frac{v+3}{1-v}$

 

=>$f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{x+3}{1-x}(3)$

 

- Lấy (2) cộng (3) rồi trừ (1), vế theo vế, ta được:

 

$2f(x)=\frac{x-3}{x+1}+\frac{x+3}{1-x}-x$ <=> $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$

* Thử lại thấy đúng

$\boxed{KL}$ $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$

 

------------

 

@namcpnh: Anh cũng giải theo cách này, nếu có cách khác thì đăng lên cho anh em học hỏi .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-05-2013 - 19:30

[tam110064]

do$f:R \mapsto R$

$f(-1)=?,f(1)=?$

[zipienie]

Cách khác: Sau khi chuyển được về dạng $f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{x+3}{1-x}$ có thể giải tiếp bằng cách đặt $x_{n}=g(x_{n-1})$ với $g(x)=\frac{x-3}{x+1}$. 

 

Nhận thấy rằng dãy trên tuần hoàn với chu kì là $2$ nên từ đó ta lập được hệ phương trình. Đến đây giải tiếp không khó khăn

 

 

[Macvan]

Liệu có thể dùng cách làm này cho giải bài toán sau được hay không? mình dùng nhưng k được     

1. $công thức$

   $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$

   Các pro giúp mình với --thanks

    

[Idie9xx]

Liệu có thể dùng cách làm này cho giải bài toán sau được hay không? mình dùng nhưng k được   

1. $công thức$

   $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$

   Các pro giúp mình với --thanks

    

 

Phương trình $(1):f(x)+f(\dfrac{1}{1-x})=x$

Thay $x$ bằng $\dfrac{1}{1-x}$ được $(2):f(\dfrac{1}{1-x})+f(1-\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{1-x}$

Thay $x$ bằng $1-\dfrac{1}{x}$ được $(3):f(1-\dfrac{1}{x})+f(x)=1-\dfrac{1}{x}$

Lấy $\dfrac{(1)+(3)-(2)}{2}$ ta có thể tìm được hàm số thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 16-09-2013 - 19:20