Chủ đề này có 2 trả lời

[NgADg]

Cho a, b, c > 0 .Cmr:

$A =(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\geq 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

[banhgaongonngon]

Cho a, b, c > 0 .Cmr:

$A =(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\geq 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

 

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

Thật vậy ta có

$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Lập các bất đẳng thức tương tự ta được

$\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-3\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

[badboykmhd123456]

Cho a, b, c > 0 .Cmr:

$A =(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\geq 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

 

bài này làm kiểu " trâu bò" như sau

Nhân tung toé quy đồng chuyển vế khử mẫu ta sẽ đk bdt cần cm tương đương:

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 \geq 2\sqrt[3]{(abc)^2}(a+b+c)$ (1)

Có VP(1)$\leq 2\frac{ab+ac+bc}{3}(a+b+c)$

$\Rightarrow$ cần CM $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\geq \frac{2(ab+ac+bc)(a+b+c)}{3}$ (2)

Biến đổi (2) sẽ đk $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 \geq 6abc$ (đúng theo cô-si 6 số)

Vậy Bdt đã cho đk cm.Dấu = xảy ra khi $a=b=c$