Bài toán 47 : Tìm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f$ tăng, toàn ánh thỏa mãn :
$f(f(x)+y)g(y)=f(x)g(x)+6xy+6x$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 18:36
#1
Đã gửi 07-06-2013 - 18:06
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
- phanquockhanh yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 07-06-2013 - 19:56
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Bài toán 47 : Tìm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f$ tăng, toàn ánh thỏa mãn :
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$. $(*)$
Bài này không khó 
Do $f$ toàn ánh nên tồn tại $a$ mà $f(a)=0$
Cho $y=-f(x),x\neq 0$ có $f(0)g(x)=f(x)g(x)-6xf(x)+6x\Rightarrow g(x)=\dfrac{6x(f(x)-1)}{f(x)-f(0)}$
Kết hợp với $(*)$ thì $f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$ vậy $f$ song ánh.
Cho $y=-1$ có $f(f(x)-1)g(x)=f(x)g(x)\Rightarrow g(x)=0$ (không thoả) hoặc $f(x)=x+1\Rightarrow g(x)=6x$ (thoả)
Kết luận $f(x)=x+1$ và $g(x)=6x$
- namcpnh yêu thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013  100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
