Bài toán 50 : Cho đa thức $P_k(x),k=1,2,3,..$ xác định bởi : $P_1(x)=x^2-2,P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x)),i=1,2,3,...$. Chứng minh rằng $P_n(x)=x$ cá tất cả các nghiệm đều là các số thực phân biệt nhau.
#1
Đã gửi 09-06-2013 - 14:23
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
- bangbang1412 yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 02-09-2016 - 18:45
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1668 Bài viết
Độc cô cầu bại
Dễ thấy nếu $|x|>2$ thì $P_{1}(x)>2$ và quy nạp nên ta có $P_{n}(x)>2$ do đó nó có nghiệm chỉ có thể có trong khoảng $[-2,2]$ khi mà $|x|\leq 2$ đặt $x = 2cos t$ với $t \in [0,\pi]$ . Bằng quy nạp ta có $P_{n}(x)=2cos 2^{n}t$ nên nó có các nghiệm thực phân biệt là $\frac{\pi}{2^{n+1}}+\frac{k\pi}{2^{n}}$ với $k \in Z$
- perfectstrong và redfox thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013  100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
