Chủ đề này có 9 trả lời

[thanhgaulata]

$\sqrt[3]{7x+1} -\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+ \sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=2$ 

$10x^{2} +3x +1=(1+6x)\sqrt{x^{2}+3}$

$\sqrt{\frac{x^{3}}{3-4x}} -\frac{1}{2\sqrt{x} }=\sqrt{x} $

$(3x-5).\sqrt{2x^{2}-3}=4x^{2}-6z+1$

$27\sqrt{5+2x}+27\sqrt{4-2x}\geq(4x+1)^{2}$

 

[dark templar]

$10x^{2} +3x +1=(1+6x)\sqrt{x^{2}+3} \quad (1)$

$\sqrt{\frac{x^{3}}{3-4x}} -\frac{1}{2\sqrt{x} }=\sqrt{x} \quad (2)$

$(3x-5).\sqrt{2x^{2}-3}=4x^{2}-6x+1 \quad (3)$

Tạm thời làm 3 bài này đã

 

==========

Với PT $(1)$,ta đặt $t=\sqrt{x^2+3} \implies t>0 \quad \text{và $t^2-3=x^2$}$.

 

Khi đó $(1)$ trở thành $9x^2+3x-2+t^2=(1+6x)t$

 

Xem đây là PT bậc 2 theo $t$,xét:

$\Delta=(1+6x)^2-4(9x^2+3x-2)=36x^2+12x+1-36x^2-12x+8=9$

 

Suy ra ta có công thức nghiệm $t_1=3x+2$ và $t_2=3x-1$

 

$(\star):\sqrt {{x^2} + 3}  =  3x+2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\{x^2} + 3 = 9{x^2} + 12x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\8{x^2} + 12x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 + \sqrt 7 }}{4}$

 

$(\star):\sqrt {{x^2} + 3}  = 3x-1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{x^2} + 3 = 9{x^2} - 6x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\8{x^2} - 6x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$

 

Vậy PT có nghiệm là $\boxed{\displaystyle x \in \left\{1;\frac{-3+\sqrt{7}}{4} \right\}}$

 

==========

Điều kiện là $0<x<\frac{3}{4}$.

 

PT $(2)$tương đương:

\[\begin{array}{rcl}2{x^2} = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {3 - 4x}  &\Leftrightarrow& 4{x^2} = 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {3 - 4x} \\&\Leftrightarrow& {\left( {2x + 1} \right)^2} + \left( {3 - 4x} \right) - 4 = 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {3 - 4x} \\&\Leftrightarrow& {\left( {2x + 1 - \sqrt {3 - 4x} } \right)^2} = 4\\&\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = \sqrt {3 - 4x} \\2x + 3 = \sqrt {3 - 4x} \end{array} \right.\end{array}\]

 

$(\star):2x - 1 = \sqrt {3 - 4x}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le x < \frac{3}{4}\\4{x^2} - 4x + 1 = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

 

$(\star):2x + 3 = \sqrt {3 - 4x}  \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 = 3 - 4x \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {10} }}{2}$.loại do $0<x<\frac{3}{4}$.

 

Vậy PT có nghiệm duy nhất là $\boxed{\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$.

 

==========

Điều kiện là $x \ge \sqrt{\frac{3}{2}} \vee x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}$.

 

Đặt $t=\sqrt{2x^2-3}(t \ge 0) \implies 2x^2=t^2+3$.Khi đó PT $(3)$ trở thành $(3x-5)t=t^2+2x^2-6x+4$.

 

Xem đây là PT bậc 2 ẩn $t$,xét:

$\Delta=(3x-5)^2-4(2x^2-6x+4)=9x^2-30x+25-8x^2+24x-16=x^2-6x+9=(x-3)^2$.

 

Suy ra ta có công thức nghiệm là $t_1=2x-4$ và $t_2=x-1$.

 

$(\star):\sqrt {2{x^2} - 3}  = 2x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2{x^2} - 3 = 4{x^2} - 16x + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2{x^2} - 16x + 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{8 + \sqrt {26} }}{2}$

 

$(\star):\sqrt {2{x^2} - 3}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {\frac{3}{2}} \\2{x^2} - 3 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {\frac{3}{2}} \\{x^2} + 2x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 5  - 1$

 

Vậy PT có nghiệm là $\boxed{\displaystyle x \in \left\{\sqrt{5}-1;\frac{8+\sqrt{26}}{2} \right\}}$.

 

 

[dark templar]

$\sqrt[3]{7x+1} -\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+ \sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=2 \quad (4)$ 

Đặt $a=\sqrt[3]{x^2-x-8};b=\sqrt[3]{x^2-8x-1}$,để ý rằng $a^3-b^3=7x-7=(7x+1)+8$ nên PT $(4)$ trở thành:

\[\begin{array}{rcl}b - a + \sqrt[3]{{{a^3} - {b^3} + 8}} = 2 &\Leftrightarrow& {a^3} - {b^3} + 8 = {\left( {2 + a - b} \right)^3}\\&\Leftrightarrow& \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + ab} \right) = {\left( {a - b} \right)^3} + 6\left( {a - b} \right)\left[ {2 + \left( {a - b} \right)} \right]\\&\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\{\left( {a - b} \right)^2} + 3ab ={\left( {a - b} \right)^2} + 12 + 6\left( {a - b} \right)\end{array} \right.\\&\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}a = b\\\left( {a + 2} \right)\left( {2 - b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\]

 

$(\star):a = b \Leftrightarrow {x^2} - x - 8 = {x^2} - 8x - 1 \Leftrightarrow x = 1$

 

$(\star):a =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 8 =  - 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

 

$(\star):b = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 8x - 1 = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x =  - 1\end{array} \right.$

 

Vậy PT có nghiệm là $\boxed{\displaystyle x \in \{\pm 1;0;9 \}}$.

[bachhammer]

 

$27\sqrt{5+2x}+27\sqrt{4-2x}\geq(4x+1)^{2}$

 

Đặt $\sqrt{5+2x}=a;\sqrt{4-2x};(a,b\geq 0,x\geq \frac{1}{2})$ thì bất phương trình trở thành $27(a+b)\geq (a^{2}-b^{2})^{2}$. Để ý rằng $a^{2}+b^{2}=9$. Khi đó ta biển đổi lại được $27(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}=81-4a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 27^{2}.9+54ab\geq 81^{2}-648a^{2}b^{2}+16a^{4}b^{4}\Leftrightarrow ab(8a^{3}b^{3}-324ab-27)\leq 0$. Đến đây thì xài Cacdano (ko bít có đúng ko?).

[dark templar]

Đặt $\sqrt{5+2x}=a;\sqrt{4-2x};(a,b\geq 0,x\geq \frac{1}{2})$ thì bất phương trình trở thành $27(a+b)\geq (a^{2}-b^{2})^{2}$.

Để ý rằng $a^{2}+b^{2}=9$. Khi đó ta biển đổi lại được 

$27(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}=81-4a^{2}b^{2}\Leftrightarrow 27^{2}.9+54ab\geq 81^{2}-648a^{2}b^{2}+16a^{4}b^{4}\Leftrightarrow ab(8a^{3}b^{3}-324ab-27)\leq 0$. Đến đây thì xài Cacdano (ko bít có đúng ko?).

THCS mà dùng Cardano thì...ăn zero điểm chứ sao   Mà điều kiện của $x$ sai rồi,phải là $2 \ge x \ge \frac{-5}{2}$.

 

Đến khúc tương đương cuối,chỉ cần để ý rằng $ab \le \frac{a^2+b^2}{9}=\frac{9}{2}$ và biến đổi:

$$8a^3b^3-324ab-27=4a^2b^2(2ab-9)+(36a^2b^2-324ab-27)$$

 

Ta cần có $8a^3b^3-324ab-27 \le 0$,do $4a^2b^2(2ab-9) \le 0$ nên chỉ cần chỉ ra $36a^2b^2-324ab-27 \le 0$.

 

Đến đây sẽ thấy với $ab \in \left[0;\frac{9}{2} \right]$ thì $36a^2b^2-324ab-27 < 0$ và không có dấu bằng.

 

Vậy nghiệm của BPT trên cũng chính là tập xác định của $x$,hay $\boxed{\displaystyle x \in \left[\frac{-5}{2};2 \right]}$.

[thanhgaulata]

bạn xem lại câu bất pt đi,phần đầu hình như nhâm oy

[thanhgaulata]

THCS mà dùng Cardano thì...ăn zero điểm chứ sao   Mà điều kiện của $x$ sai rồi,phải là $2 \ge x \ge \frac{-5}{2}$.

 

Đến khúc tương đương cuối,chỉ cần để ý rằng $ab \le \frac{a^2+b^2}{9}=\frac{9}{2}$ và biến đổi:

$$8a^3b^3-324ab-27=4a^2b^2(2ab-9)+(36a^2b^2-324ab-27)$$

 

Ta cần có $8a^3b^3-324ab-27 \le 0$,do $4a^2b^2(2ab-9) \le 0$ nên chỉ cần chỉ ra $36a^2b^2-324ab-27 \le 0$.

 

Đến đây sẽ thấy với $ab \in \left[0;\frac{9}{2} \right]$ thì $36a^2b^2-324ab-27 < 0$ và không có dấu bằng.

 

Vậy nghiệm của BPT trên cũng chính là tập xác định của $x$,hay $\boxed{\displaystyle x \in \left[\frac{-5}{2};2 \right]}$.

bạn xem lại phần đầu đi chỗ 54ab yk phân tích ra đâu phải thế

[dark templar]

bạn xem lại phần đầu đi chỗ 54ab yk phân tích ra đâu phải thế

Kết quả thì vẫn thế thôi,chỉ là ta phải chứng minh $36a^2b^2-324ab-729 \le 0$ với $ab \in \left[0;\frac{9}{2} \right]$.Điều này thì hiển nhiên đúng.

[naruto10459]

Kết quả thì vẫn thế thôi,chỉ là ta phải chứng minh $36a^2b^2-324ab-729 \le 0$ với $ab \in \left[0;\frac{9}{2} \right]$.Điều này thì hiển nhiên đúng.

sao hiển nhiên đúng vậy bạn???

[dark templar]

sao hiển nhiên đúng vậy bạn???

Giải bất phương trình bậc 2 đó ra,ta sẽ được $ab \in \left[\frac{9-9\sqrt{2}}{2};\frac{9+9\sqrt{2}}{2} \right] \supset \left[0;\frac{9}{2} \right]$