Chủ đề này có 5 trả lời

[khongghen]

Định lý về tam giác đều trên ba đường phân giác của tam giác:

 

Cho M,N,P ∈ đường phân giác của tam giác ABC.

$AM=\left( {\frac{b+c-a}{2}-r/\sqrt{3}} \right)\cos\frac{A}{2}$
$BN=\left( {\frac{c+a-b}{2}-r/\sqrt 3 } \right)\cos\frac{B}{2}$
$CP=\left( {\frac{b+a-c}{2}-r/\sqrt 3 } \right)\cos\frac{C}{2}$
$r$ bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
$K$ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (MNP), I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).

 

Khi đó ta có:

 

1-MNP là tam giác đều

2-K,I,O thẳng hàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 15-06-2013 - 05:56

[nhokqn245]

Câu a, dùng biểu thức $IM=r\sqrt{3}\cos\frac{A}{2}$, tương tự cho IN và IP rồi dùng định lí hàm cosin để tính các cạnh.

Câu b, mình nghĩ dùng các kết quả về tâm tỉ cự để chứng minh.

$O$ là tâm tỉ cự của $(A,B,C)$ với hệ số $(b^2+c^2-a^2,a^2+c^2-b^2,a^2+b^2-c^2)$

$I$ là tâm tỉ cự của $(A,B,C)$ với hệ số $(a,b,c)$

$K$ là trọng tâm tam giác $MNP$

rồi biểu diễn $\overrightarrow{IK}$ theo $\overrightarrow{IO}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-06-2013 - 22:38

[khongghen]

Câu a, dùng biểu thức $IM=r\sqrt{3}\cos\frac{A}{2}$, tương tự cho IN và IP rồi dùng định lí hàm cosin để tính các cạnh.

Câu b, mình nghĩ dùng các kết quả về tâm tỉ cự để chứng minh.

$O$ là tâm tỉ cự của $(A,B,C)$ với hệ số $(b^2+c^2-a^2,a^2+c^2-b^2,a^2+b^2-c^2)$

$I$ là tâm tỉ cự của $(A,B,C)$ với hệ số $(a,b,c)$

$K$ là trọng tâm tam giác $MNP$

rồi biểu diễn $\overrightarrow{IK}$ theo $\overrightarrow{IO}$

 

 

Bạn làm câu a, cho mình được không? câu a, bạn nói như thế nhưng mình không rõ là làm như thế nào?

[nhokqn245]

sr mình đọc nhầm

$IM=AI-AM=\frac{p-c}{cos\frac{A}{2}}-(p-a)cos\frac{A}{2}+\frac{r}{\sqrt{3}}cos\frac{A}{2}$

$=r(sin\frac{A}{2}+\frac{cos\frac{A}{2}}{\sqrt{3}})$

Tương tự cho IN,IP

$MP^{2}=IM^{2}+IP^{2}+2IM.IP.sin\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow ...$$\Leftrightarrow MP^{2}=r^{2}(\frac{sinA+sinB+sinC}{\sqrt{3}}+\frac{8}{3}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+\frac{4}{3})$

bạn tính tương tự cho 2 cạnh kia

lượng giác mình k được tốt, bạn kiểm tra giúp, hi vọng nó đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhokqn245: 13-06-2013 - 17:09

[khongghen]

sr mình đọc nhầm

$IM=AI-AM=\frac{p-c}{cos\frac{A}{2}}-(p-a)cos\frac{A}{2}+\frac{r}{\sqrt{3}}cos\frac{A}{2}$

$=r(sin\frac{A}{2}+\frac{cos\frac{A}{2}}{\sqrt{3}})$

Tương tự cho IN,IP

$MP^{2}=IM^{2}+IP^{2}+2IM.IP.sin\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow ...$$\Leftrightarrow MN^{2}=r^{2}(\frac{sinA+sinB+sinC}{\sqrt{3}}+\frac{8}{3}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+\frac{4}{3})$

bạn tính tương tự cho 2 cạnh kia

lượng giác mình k được tốt, bạn kiểm tra giúp, hi vọng nó đúng

 

Bạn biến đổi tắt quá mình đọc không hiểu.

[khongghen]

Nếu như ban quản trị thấy bài toán này có ý nghĩa, tôi hi vọng  ban quản trị diễn đàn đưa file đính kèm nên trang chủ

 

Equilateral triangle on angle bisectors of a triangle theorem

File gửi kèm

•  Equilateral triangle on angle bisectors of a triangle theorem.pdf   450.52K   244 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 14-06-2013 - 08:07