Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$.
Tìm GTLN của $P=x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4$
Max $P=x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4$
Started By 25 minutes, 15-06-2013 - 15:11
#2
Posted 02-07-2013 - 14:19
trauvang97
-
- Thành viên
-
- 402 posts
Sĩ quan
Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$.
Tìm GTLN của $P=x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4$
Do vai trò bình đẳng của $x,y,z$ trong $P$ nên ta có thể giả sử: $0\leq z\leq y\leq x$
Khi đó ta có: $P=x(y-z)^{4}+y(x-z)^{4}+z(x-y)^{4}\leq x(y+z)^{4}+yx^{4}+zx^{4}$
Đặt $d=y+z$ thì $P\leq xd^{4}+dx^{4}=xd(x^{3}+d^{3})=xd[(d+x)^{3}-3xd(d+x)]=xd(1-3xd)$ (vì $x+d=1$)
Khi đó: $P\leq -3\left ( xd-\frac{1}{6} \right )^{2}+\frac{1}{12}\leq \frac{1}{12}$
$P=\frac{1}{12}$ khi và chỉ khi $x=\frac{3+\sqrt{6}}{6},y=\frac{3-\sqrt{6}}{6},z=0$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{1}{12}$ đạt được khi và chỉ khi $(x,y,z)$ là một hoán vị của $\left (\frac{3+\sqrt{6}}{6},\frac{3-\sqrt{6}}{6},0 \right )$
- caybutbixanh, ngocduy286, 25 minutes and 2 others like this
#3
Posted 02-07-2013 - 17:11
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 posts
Thiếu úy
1 bài toán tương tự:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $x(y+z)^4+y(z+x)^4+z(x+y)^4\leq \frac{1}{12}$
- Zaraki likes this
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
