Chủ đề này có 1 trả lời

[trungtran]

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của

1. A = $\frac{a+3c}{a+2b+c} + \frac{4b}{a+b+2c} - \frac{8c}{a+b+3c}$

 

2. B= $\frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{2c-3} + \frac{c^2}{2a-1}$ ( với $a> \frac{1}{2} ; b> 1; c> \frac{3}{2}$)

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của

1. A = $\frac{a+3c}{a+2b+c} + \frac{4b}{a+b+2c} - \frac{8c}{a+b+3c}$

Nhìn vào điều kiện bài toán dẫn ta đến việc đăt ẩn phụ

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+2b+c=x\\a+b+2c=y \\ a+b+3c=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+3c=2y-x\\4b=4x-8y+4z \\ -8c=8y-8z \end{matrix}\right.$

Do đó $A=\frac{2y-x}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{8y-8z}{z}$

  $\Rightarrow A=\frac{2y}{x}-1+\frac{4x}{y}-8+\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z}-8$

  $\Rightarrow A=(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z})-17$

Đến đây thì áp dụng AM-GM ta có

          $(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z}) \geqslant 4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}$

  $\Rightarrow A\geqslant 12\sqrt{2}-17$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=x\sqrt{2}\\ z=y\sqrt{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+2c=(a+2b+c)\sqrt{2}\\ a+b+3c=(a+b+2c)\sqrt{2} \end{matrix}\right.$