Chủ đề này có 5 trả lời

[NgADg]

Cho x, y là các số thỏa $0\leq x,y\leq \frac{1}{2}$

CMR: $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+ \frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

[Oral1020]

Đặt $(\sqrt{x};\sqrt{y}) \longrightarrow (a;b)$,bất đẳng thức trở thành:

$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{a^2+1} \le \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a^3+b^3+a+b}{(a^2+1)(b^2+1)} \le \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Ta có:

$a^3 \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} a^2$ và $b^3 \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Do $a;b \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longrightarrow \left (a-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \left (b-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

$\Longleftrightarrow a+b \le \sqrt{2}ab+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longrightarrow a^3+b^3+a+b \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} (a^2+b^2+2ab +1)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[(a+b)^2+1] \le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Do đó nên ta sẽ tìm GTNN của $a^2+b^2+a^2b^2+1$

Theo bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$a^2b^2+\dfrac{1}{4} \ge ab$

$a^2+b^2 \ge 2ab$

$\Longrightarrow a^2+b^2+a^2b^2+1 \ge 3ab+\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{9}{4}$

...

[NgADg]

Cái chỗ ta có $a^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2}a^2 ;b^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Là sao nhỉ           

[NgADg]

 

$\Longrightarrow \left (a-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) \left (b-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$

$\Longleftrightarrow a+b \le \sqrt{2}ab+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longrightarrow a^3+b^3+a+b \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} (a^2+b^2+2ab +1)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[(a+b)^2+1] \le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Do đó nên ta sẽ tìm GTNN của $a^2+b^2+a^2b^2+1$

Theo bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$a^2b^2+\dfrac{1}{4} \ge ab$

$a^2+b^2 \ge 2ab$

$\Longrightarrow a^2+b^2+a^2b^2+1 \ge 3ab+\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{9}{4}$

...

Đoạn này là sao nhỉ 2 vế chưa có mà sao tuơng đương chắc $\leq 0$ và đoạn sau cũng bó tay 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 25-06-2013 - 16:41

[Oral1020]

Mình ghi thiế

Do $a=\sqrt{x} \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longrightarrow a- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \le 0$

Tương tự với b.Do hai cái luôn không dương nên nhân với nhau ra không âm

Đoạn trên là $b^3 \le \dfrac{\sqrt{2}}{2} b^2$ đấy.

Xin lỗi bạn nhé Mình làm nhanh quá nên thiếu

[nguyencuong123]

 

$\Longrightarrow a^2+b^2+a^2b^2+1 \ge 3ab+\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{9}{4}$

...

Sao $3ab+\frac{3}{4}\geq \frac{9}{4}$ nhỉ. @@   

Cách này sai rồi vì $ab=\sqrt{xy}\leq \frac{1}{2}$ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 04-08-2013 - 13:21