PTH trên R

Cho trước số tự nhiên http://dientuvietnam...tex.cgi?n>1.Tìm tất cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f:\mathbb{R}->\mathbb{R} sao cho .
Nhin lai tat ca cac bai toan cua China TST 2001

Đối với bài này hãy chú ý tương đương với bài sau:
i) http://dientuvietnam...metex.cgi?f(f(y))=y+(f(0))^n
ii) http://dientuvietnam...x.cgi?f(x^n f(0))=(f(x))^n
iii) http://dientuvietnam...cgi?f(x^n y f(0))=f(y)+f(x^n)

Đến đây các bạn giải tiếp đi, hôm sau mình post tiếp.
Chú ý tấn công vào (iii) để được f cộng tính.
Vậy ta có f cộng tính và .
Từ đó giải ra và kết luận f(x)=x với mọi x.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 31-10-2005 - 12:08

Vậy nhờ bác,mình có biết một lời giải rất hay(không phải của mình).Chờ bác trước đã.

Bài này trong quyển của thầy Nguyễn Trọng Tuấn. Nó là bài tổng quát của bài IMO 1992 ( thế mới thấy bọn Tàu thi trâu thật )
Nhưng mà trong sách giải trâu lắm, đặc biệt là TH n lẻ. Anh QUANVU có lời giải đẹp cho em gái xem voi nào

Với n=1 là một bài toán kô dễ !

Với n=1 bài toán tương đương với tìm f cộng tính và f(f(x))=x.
Hôm sau mình trả lời tiếp cho!

Bài này trong quyển của thầy Nguyễn Trọng Tuấn. Nó là bài tổng quát của bài IMO 1992 ( thế mới thấy bọn Tàu thi trâu thật )
Nhưng mà trong sách giải trâu lắm, đặc biệt là TH n lẻ. Anh QUANVU có lời giải đẹp cho em gái xem voi nào

Mấy hôm rồi ngồi nhớ lại ,nhưng nhớ mãi không ra

Xin lỗi anh,em.Mời mọi người dùng tạm bài này vậy http://dientuvietnam...tex.cgi?f(x y^n)=f(x)+(f(y))^n.

Bài trên với n>1 thì giải như trước (nhưng dễ hơn môt xíu), đáp số như cũ.
Với n=1 thì f cộng tính và nên nhớ lớp hàm cộng tính 'không đẹp' như ta tưởng đâu.
Ta không thể diễn tả hết những hàm cộng tính bằng những công thức mà trước nay ta vẫn dùng đâu.
Thậm chí với bài toán mình nói lần trước, (bài tìm mọi f công tính thỏa f(f(x))=x).
Để thấy được sự phức tạp này thì mình xin nói sơ thôi, có những thứ vượt quá kiến thức phổ thông.
Vì R là một không gian vector trên trường Q, nên theo bổ đề Zorn ta chứng minh được nó có một cơ sở E nào đó.
Chú ý E con R là cơ sở trên Q của R khi và chỉ khi ( theo đn ) mỗi số thực đều biểu diễn duy nhất dưới dạng aiei, với n nào đó , ei trong A, ai là các số hữu tỉ.
Như vậy hàm f cộng tính xác định hoàn toàn nến ta tính được f(e) với mọi e trong E.
Vậy ta có thể mô tả mọi hàm f cộng tính như sau:
+chọn g: E-->R tùy ý .
+Sau đó với mỗi g thì chỉ có một hàm ~(g) cộng tính thỏa ~(g)(e)=g(e) với mọi e trong E.
+Vậy tập mọi hàm công tính trên R={~(g)/g là ánh xạ bất kì từ E-->R}

Hôm sau mình pót tiếp, giờ phải về hà thôi.