[2].$n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac{x^n+1}{x+1}$ bất khả quy trong $\mathbb{Z}_2[x]$.Xét một véc tơ trong $\mathbb{Z}_2^n$ với số các thành phần bằng $1$ là lẻ và ít nhất một thành phần của nó bằng $0$.Chứng minh rằng véc tơ này và các hoán vị vòng của nó lập thành một cơ sở của $\mathbb{Z}_2^n$.
[3].$L$ là một lưới đủ trong $\mathbb{R}^2$ và $K$ là lưới con của $L$ sao cho $\dfrac{A(K)}{A(L)}=m$.Nếu $m$ là số nhỏ nhất sao cho với mỗi $\{x_1,x_2\}$ của $L$ sao cho $\{x_1,mx_2\}$ là cơ sở của $K$.
[4].$a,b,c,t$ là các số nguyên dương và $k=c^t,n=a^k-b^k$.
a)Chứng minh rằng nếu $k$ có ít nhất $q$ ước nguyên tố phân biệt thì $n$ có ít nhất $qt$ ước nguyên tố phân biệt.
b)Chứng minh rằng $2^{\dfrac{t}{2}}|\varphi(n)$ nếu $t$ chẵn.
[5].Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $L(n)$ là số các số nguyên $n|a^n-1$.Nếu $n$ có các ước nguyên tố $p_1,p_2,...,p_k$ ta định nghĩa $T(n)=(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)$.
a)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ thì $\varphi(n)|T(n)L(n)$.
b)Chứng minh rằng nếu $(n,T(n))=1$ thì $\varphi(n)=L(n)T(n)$.
[6].a)$R,P\in\mathbb{Q}[x]$ và $R$ không phải là đa thức $0$.Chứng minh rằng tồn tại $Q\in\mathbb{Q}[x]$ sao cho $Q$ không phải là đa thức $0$ và $P(x)|Q(R(x))$.
b)$R,P\in\mathbb{Z}[x]$ và $R$ là đa thức monic.Chứng minh rằng tồn tại $Q\in\mathbb{Z}[x]$ sao cho $Q$ là đa thức monic và $P(x)|Q(R(x))$.
[7].$A$ là họ các tập con của $\{1,2,...,n\}$ sao cho không có phần tử nào của $A$ chứa một phần tử khác của $A$.Định lý của Sperner nói rằng $A$ để có dấu đẳng thức.
[8].$B$ là tập con của $\mathbb{Z}_3^n$ sao cho với mỗi hai phần tử phần biệt $(a_1,a_2,...,a_n),(b_1,b_2,...,b_n)$ của $B$ tồn tại $i\in\{1,2,...,n\}$ sao cho $C$ là họ(có thể vô hạn) các tập con của $\mathbb{N}^*$ sao cho mọi dãy $C$,có một phần tử của $C$ chứa tất cả chúng.Chứng minh rằng có phần tử của $C$ không chứa trong các phần tử khác của $C$.
[10].$D$ là một họ các tập con $s$ phần tử của $\{1,2,...,n\}$ sao cho với mỗi $k$ phần tử của $D$ giao của chúng khác rỗng.Kí hiệu $D(n,s,k)$ là số lớn nhất phần tử mà $D$ có thể có.
a)Tính $D(n,s,4)$.
b)Tính $D(n,s,3)$.
[11].$E$ là một họ các tập con của $\{1,2,...,n\}$ với tính chất:Với mỗi $f(n,d)$ là số phần tử nhỏ nhất mà $E$ có thể có.
a)Chứng minh rằng nếu $n$ chẵn thì $n-d$ chẵn thì $n$ chẵn thì $f(n,0)=n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:07
