China MO - 03 !

Mời các bác chiến bài này:
Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?y bởi 1 thì sẽ được bài IMO - 94.
Phải chăng có sự liên hệ gì ở đây ?


DDTH

Nếu không cho x;y nguyên dương thì ta lấy x=0 thì p=-y suy ra tập giá trị là Z
Đặt
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^3-y=k(1+xy)
suy ra http://dientuvietnam...tex.cgi?k y=tx.
Suy ra http://dientuvietnam...x.cgi?x^3=(tx-y)xy+tx
suy ra http://dientuvietnam...x.cgi?x^2=(tx-y)y+t
suy ra http://dientuvietnam...?x^2 y^2=t(xy 1)
Đến đây đơn giản rồi.
b1) CMR t là số chính phương (bài thi IMO năm 1989).
b2) Xét t là số chính phương. Xét x và y là nghiệm của http://dientuvietnam...?x^2 y^2=t(xy 1) .( Tìm tât cả nghiệm xác định bởi 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy số ) ( Bài thi của CMO năm 1998 có ở ngoài trang chủ)
b3) Dễ thấy với mỗi cặphttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x;y) ở 2) thì P nhận giá trị nguyên Từ đó suy ra các giá trị nguyên của P
Nhận xét bài toán này nếu cho tìm tất cả các giá trị nguyên của x và y để P nguyên thì có lẽ sẽ hay hơn