phần nguyên

Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\[\dfrac{a^2}{b}\]+\[\dfrac{b^2}{a}\]=\[\dfrac{a^2+b^2}{ab}\]+ab


DDTH

Không bạn nào quan tâm đến bài này à. Mình post lời giải lên nhé:

Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a=b ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\[a\]+\[a\]=2+a^2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x>y. Khi đó đặt http://dientuvietnam...imetex.cgi?y=0. Tức là http://dientuvietnam...etex.cgi?a>b^2. Nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b^3+2bc+\[\dfrac{c^2}{b}\]=b+\[\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{b^2+c}\]+b^3+bc
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\[\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{b^2+c}\]\le\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{b^2+c}\le\dfrac{c}{b}+1
Nên ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b(c-1\)+\dfrac{c}{b}-1\le\dfrac{c}{b}+1
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c=1 hoặc http://dientuvietnam....cgi?a=b^2 c=3. Nhưng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=c=1. Ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=b^2+1. Nên :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\]=b^3+2b+\[\dfrac{1}{b}\]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\]+ab=b+\[\dfrac{1}{b}+\dfrac{b}{b^2+1}\]+b^3+b
Ta thấy b=1 thỏa mãn.
Nếu thì:
và Nên:


Vậy các cắp số cần tìm là

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 04-07-2005 - 11:30