Đến nội dung

bangbang1412 nội dung

Có 132 mục bởi bangbang1412 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#743584 While working on my notes - Kodaira

Đã gửi bởi bangbang1412 on 15-02-2024 - 18:52 trong Kinh nghiệm học toán

:wacko: vẫn đang không biết đọc $\infty$-cat như thế nào, đọc cụ Kodaira cảm thấy được an ủi phần nào.




#743146 Nên đọc sách gì cho môn Đại số đại cương

Đã gửi bởi bangbang1412 on 21-01-2024 - 02:33 trong Kinh nghiệm học toán

Mọi người có thể đề xuất thêm giúp em cuốn nào tiếng việt được không ạ.

Bạn tìm cuốn Đại số đại cương của thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng.




#743144 Sưu tầm một số bài tập tô-pô đại cương

Đã gửi bởi bangbang1412 on 20-01-2024 - 23:25 trong Tôpô

Phần tiếp theo là về các không gian compact.

 

Bài 5. Chứng minh các khẳng định sau:

  • a) Không gian con đóng của không gian compact là compact.
  • b) Ảnh của không gian compact qua một ánh xạ liên tục là compact.
  • c) Không gian con compact của không gian Hausdorff là không gian con đóng.
  • d) Hợp rời hữu hạn của các không gian compact là compact.

Bài 6. Cho $S$ là một không gian compact + Hausdorff và $R \subset S \times S$ là một quan hệ tương đương. Chứng minh rằng các khẳng say tương đương:

  • $S/R$ với tô-pô thương là compact + Hausdorff.
  • $R \subset S \times S$ là tập con đóng.
  • Ánh xạ chiều $S \longrightarrow S/R$ là đóng.

Bài 7. Cho $S,T$ là các không gian compact + Hausdorff và $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng các khẳng định sau tương đương:

  • $f$ là một ánh xạ thương.
  • $f$ là một cokernel (theo nghĩa phạm trù).
  • $f$ là một epimorphism (theo nghĩa phạm trù).
  • $f$ là toàn ánh.

Bài 8. Cho $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Giả sử $S,T$ là các không gian compact, Hausdorff và $f$ toàn ánh. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đóng $S' \subset S$ cực tiểu sao cho $f_{\mid S'} \colon S' \longrightarrow T$ là toàn ánh.

 

Gợi ý: sử dụng bổ đề Zorn.




#743143 Sưu tầm một số bài tập tô-pô đại cương

Đã gửi bởi bangbang1412 on 20-01-2024 - 23:20 trong Tôpô

Mình có một số bài tập môn tô-pô đại cương đăng lên để mình và các bạn cùng giải. Đây là phần chuẩn bị cho môn condensed math mà mình đang học. Post đầu tiên về không gian Hausdorff. Nhắc lại một số kiến thức.

 

  • Không gian tô-pô gọi là $T_1$ (Frechet) nếu mọi điểm đều đóng.
  • Không gian tô-pô gọi là $T_2$ (Hausdorff) nếu mọi cặp hai điểm đều tách được bởi các lân cận.
  • Không giân tô-pô gọi là $T_4$ nếu mọi cặp hai tập đóng rời nhau đều tách được bởi các lân cận.
  • Không gian tô-pô gọi là chuẩn tắc nếu nó $T1+T4$ (cũng tương đương $T2+T4$).

Bài 1. Chứng minh các khẳng định sau.

  • a) Một không gian con (với tô-pô cảm sinh) của không gian Hausdorff là không gian Hausdorff.
  • b) Cho $(X_i)_{ i\in I}$ là một họ các không gian tô-pô khác rỗng, tích $\prod_{i \in I} X_i$ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi $X_i$ là Hausdorff.
  • c) Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một hệ xạ ảnh các không gian tô-pô, chứng minh rằng nếu mỗi $X_i$ Hausdorff thì $\varprojlim X_i$ là Hausdorff.
  • d) Cho ví dụ chứng tỏ rằng $\varinjlim X_i$ nói chung không Hausdorff ngay cả khi mỗi $X_i$ Hausdorff.

Lời giải:

 

Bài 2. Cho $\pi \colon X \longrightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục + toàn ánh giữa hai không gian tô-pô. Giả sử $\pi$ đóng (ảnh của tập đóng là đóng). Chứng minh nếu $X$ là $T_1$ hoặc $T_4$ thì $Y$ có tính chất tương ứng. Nói riêng nếu $X$ chuẩn tắc thì $Y$ là Hausdorff.

 

Lời giải:

 

Bài 3. Chứng minh rằng không gian tô-pô $X$ là Hausdorff khi và chỉ khi ánh xạ đường chéo $\Delta \colon X \longrightarrow X \times X, x \longmapsto (x,x)$ là ánh xạ liên tục đóng.

 

Lời giải:

 

Bài tập dưới đây nâng cao hơn một chút, nhắc lại một số kiến thức: cho $\mathcal{C} \subset\mathcal{D}$ là một phạm trù con đầy đủ, ta gọi $\mathcal{C}$ là phản xạ (refletive) trong $\mathcal{D}$ nếu hàm tử nhúng $\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$ nhận một liên hợp trái.

 

Bài 4. Chứng minh rằng phạm trù các không gian tô-pô Hausdorff là một phạm trù con phản xạ của phạm trù các không gian tô-pô.

 

Lời giải:

 

Gợi ý: sử dụng định lý liên hợp hàm tử của Frey và bài tập số 1).




#742906 $p^n=x^5+y^5$

Đã gửi bởi bangbang1412 on 05-01-2024 - 18:10 trong Số học

Trước hết ta xét trường hợp $p$ lẻ, nếu một trong hai số $x,y$ là bội của $p$ thì số còn lại cũng là bội của $p$. Ta có thể rút luỹ thừa cao nhất của $p$ trong phân tích nguyên tố của $x,y$ ra và giản ước cho tới khi cả hai số không có số nào là bội của $p$ nữa (xem trường hợp $p=2$ bên dưới). Giả sử $p \not\mid x, p \not\mid y$, khi đó theo bổ đề LTE thì

$$\nu_p(x^5+y^5) = \nu_p(x+y) + \nu_p(5)$$

và do đó nếu $p \neq 5$ thì $x^5+y^5=x+y$ suy ra vô lý. Vậy trong trường hợp $p$ lẻ thì $p=5$ và từ đẳng thức trên ta suy ra $x+y=5^{n-1}$. Nói cách khác, $x^5+y^5=5(x+y)$. Tuy nhiên theo bất đẳng thức Holder thì $16(x^5+y^5) \geq 16(x+y)^5$ nên $(x+y)^4 \leq 80$ và $x+y=2$ nhưng trường hợp này mâu thuẫn giả thiết hiện tại.

 

Như vậy chỉ còn trường hợp $p=2$ là có thể có nghiệm. Ta thấy $x,y$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $x,y$ cùng chẵn ta đặt $x=2^a b$ và $y=2^c d$ với $a,c \geq 1$ nguyên dương và $b,c$ nguyên dương lẻ. Không giảm tổng quát giả sử $a \geq c$, khi đó từ giả thiết ta có

$$2^n = 2^{5c}(2^{5a-5c}b^5 + d^5).$$

Từ đây nếu $n > 5c$ thì $a=c$ bằng cách xét tính chẵn lẽ. Còn nếu $n = 5c$ thì $1 = 2^{5a-5c}b+d$ nên suy ra vô lý vì $b,d$ nguyên dương. Trường hợp đầu tiên ta quy về

$$2^{n-5c} = b^5+d^5$$

với $b,d$ lẻ. Từ chứng minh trên ta có thể giả sử $x,y$ cùng lẻ từ đầu. Khi đó lại theo bổ đề LTE ta có $\nu_2(x^5+y^5)=\nu_2(x+y)$ (ở đây cần thiết $x,y$ cùng lẻ) và do đó $x=y=1$.

 

Dưới đây là một chứng minh thủ công cho bước cuối, ban đầu mình không để ý bước cuối ta cũng dùng LTE được. Đặt $x+y=2^m$ với $1 \leq m < n$. Từ các bất đẳng thức

$$(x+y)^5 > x^5 + y^5 \geq \frac{1}{16}(x+y)^5$$

ta suy ra

$$2^{5m} > 2^n \geq 2^{5m-4}$$

nên $n \in \left \{5m-1,5m-2,5m-3,5m-4 \right \}$ và ta sẽ giải từng trường hợp. Trường hợp $n = 5m-4$ tầm thường vì dấu bằng xảy ra tức là $x=y=2^{m-1}$; và để thoả mãn giả thiết $x,y$ cùng lẻ thì ta phải có $m=1$ và $x=y=1$. Như vậy chỉ còn ba trường hợp, bắt đầu với $n=5m-1$ hay

$$2(x^5+y^5) = (x+y)^5.$$

Bằng cách thế $y= 2^m - x$ và khai triển và rút gọn hai vế ta thu được

$$2^{4m} - 5.2^{3m} x +  10. 2^{2m}x^2 - 10.2^m x^3 + 5x^4 = 0.$$

Điều này không thể xảy ra do mâu thuẫn tính chẵn lẻ. Hai trường hợp $n=5m-2$ và $n=5m-3$ đều chứng minh tương tự.

 

Như vậy toàn bộ nghiệm có thể là $(p,n,x,y)=(2,5a+1,2^a,2^a)$.




#742890 Xác định $\det(A+I)$ biết $A^{2021}= -I$

Đã gửi bởi bangbang1412 on 04-01-2024 - 00:37 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$

Ta có thể giả sử đang làm việc trên $\mathbb{C}$. Từ giả thiết thì đa thức đặc trưng của $A$ là nghiệm của $x^{2021}+1=0$ có các nghiệm phân biệt nên dạng chuẩn Jordan của $A$ là các khối $(1\times 1)$; nói cách khác, $A$ chéo hoá được và các giá trị riêng của nó là nghiệm của phương trình $x^{2021}+1$. Gọi $\lambda_1,...,\lambda_{2021}$ là các giá trị riêng (có thể trùng nhau) của $A$ thì định thức cẩn tính là $(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_{2021})$.




#742887 Một số tài liệu về lý thuyết phạm trù mô hình và phạm trù vô hạn

Đã gửi bởi bangbang1412 on 03-01-2024 - 21:22 trong Toán học hiện đại

@bangbang1412 Ở đây anh chỉ gợi ý mấy bài đó nếu người nào tự dưng muốn đọc mà chưa có bài toán nào sẵn trong đầu ấy, còn tất nhiên là có bài toán của riêng mình mà có thể áp dụng được vẫn tốt hơn. Lấy giới hạn trong $\infty$-categories nhằm vượt qua trở ngại của lý thuyết phạm trù thông thường là một trong những điểm nổi bật của $\infty$-phạm trù. Anh cũng vì chuyện kiểu như thế trong phạm trù dẫn xuất này mà phải đi dùng $\infty$-phạm trù (trước đây khi chưa biết về $\infty$-phạm trù anh còn lạc sang cả aben hoá của phạm trù dẫn xuất). Bằng có thời gian thì giải thích cái vấn đề mở rộng lên algebraic spaces trong thread này luôn nhé. Anh nghĩ sẽ có nhiều điểm thú vị.

:icon6: Chưa giải thích được, đang trong giai đoạn nghiên cứu.




#742878 Một số tài liệu về lý thuyết phạm trù mô hình và phạm trù vô hạn

Đã gửi bởi bangbang1412 on 03-01-2024 - 01:56 trong Toán học hiện đại

Có thể sẽ dễ đọc hơn nếu thấy phạm trù vô cực được sử dụng thế nào trong nghiên cứu. Chẳng hạn như có một notes rất tốt gần đây của Can Yaylali về hình học đại số dẫn xuất https://arxiv.org/pdf/2208.01506.pdf. Hoặc áp dụng của vành dẫn xuất (derived rings) (còn được gọi là animated rings bởi Clausen) trong bài báo sau  https://arxiv.org/abs/1912.10932                         

 

Chắc là không nên đọc phạm trù vô cực nếu không biết sẵn một ứng dụng trong đầu. Bản thân em chỉ đọc vì có vài ý tưởng nghiên cứu cho tương lai và em cảm thấy không thể dùng phạm trù mô hình được nữa. Có sẵn một ứng dụng thì học sẽ biết cái gì cần trước cái gì cần sau.

 

Đợt trước có trao đổi với Ayoub vài câu thì thấy ông có vẻ đã đã chuyển mindset sang phạm trù vô cực hẳn rồi dù ông này là người rất thành thạo về phạm trù mô hình. Hỏi ông thầy thì ông ấy bảo ông ấy biết tính Ayoub, hắn ta chỉ học cái gì đó khi không thể dùng được cái cũ nữa. Bản thân ông ấy thì không học phạm trù vô cực, trước nay chỉ phạm trù tam giác hay derivator là đủ và ông thấy ngày nay người ta dùng phạm trù vô cực nhiều quá, dù nó tiện thật nhưng có vẻ ít người thực sự can thiệp được vào phần lõi lý thuyết.

 

:mellow: Lúc đấy em thấy cũng đúng, có khi mình lại như ông ấy không cần thiết học lắm. Nhưng vài tuần nghiên cứu thì tự nhiên cảm giác cái công thức của mình mở rộng lên algebraic spaces được, nhưng phải qua một bước lấy giới hạn. Thế là có lý do để học.




#742875 Một số tài liệu về lý thuyết phạm trù mô hình và phạm trù vô hạn

Đã gửi bởi bangbang1412 on 02-01-2024 - 20:37 trong Toán học hiện đại

Trước đây mình chỉ sử dụng phạm trù mô hình tuy nhiên giờ đây có một số xây dựng mà mình thấy không thể tiếp tục với phạm trù mô hình. Cụ thể là việc lấy giới hạn đồng luân của các phạm trù mô hình, theo mình biết thì có một định nghĩa trong

  • Julia E.Bergner, Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories.

về giới hạn lỏng (lax homotopy limits) của các phạm trù mô hình tổ hợp (combinatorial model categories). Vấn đề này có vẻ không xuất hiện trong lý thuyết phạm trù vô hạn: tồn tại phạm trù vô hạn của các phạm trù vô hạn.và ta có thể lấy giới hạn dễ dàng hơn. Mình chưa hiểu chi tiết kỹ thuật nào làm phạm trù mô hình bị "yếu thế" so với phạm trù vô hạn. Dĩ nhiên không nói tới việc mỗi phạm trù mô hình đơn hình đều sinh ra một phạm trù vô hạn chứa "đủ" các thông tin của chính nó thì trên đây là lý do mà mình bắt đầu thử học phạm trù vô hạn. Mình chia sẻ một số note mang tính cá nhân với mọi người xem như một nguồn tham khảo cho ai muốn bắt đầu mà chưa biết bắt đầu từ đâu.

 

Hai cuốn kinh thánh chắc chắn là:

  • J. Lurie, Higher Topos Theory (HTT).
  • J. Lurie, Higher Algebra (HA).

Và tuỳ theo khẩu vị mà người ta có thể đọc các tài liệu liên quan. Tuy nhiên để bắt đầu với HTT thì không hề dễ, mình giới thiệu một số tài liệu khác mang tính dẫn nhập hơn. Trước tiên mình tin để học phạm trù vô cực, người ta phải biết về lý thuyết các đơn hình và do đó cũng ít nhiều đụng tới phạm trù mô hình, cuốn

  • Paul G. Goerss, John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory.

rất đáng tin cậy, đặc biệt là chương đầu tiên về tập đơn hình và chương thứ hai về phạm trù mô hình. Về phạm trù mô hình, hai cuốn kinh điển có lẽ là

  • Mark Hovey, Model Categories: cuốn này dẫn nhập về phạm trù mô hình và nếu bạn chỉ muốn tìm hiểu về phạm trù mô hình một cách trừu tượng thì chương một là đủ, nếu bạn muốn các ví dụ thì hai chương sau cũng tốt. Các chương còn lại tuỳ gu.
  • Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations: một "thiếu sót" lớn trong cuốn của Hovey là lý thuyết địa phương hoá Bousfield được trình bày rất chi tiết trong cuốn của Hirschhorn. Cuốn sách này chia làm hai phần, nhưng phần thứ hai phụ thuộc rất chặt vào phần thứ nhất và do đó chương bắt đầu là chương bảy chứ không phải chương một. Cuốn này trình bày mọi thứ cực kỳ chặt chẽ và liên kết mọi phát biểu với nhau nên rất thích hợp để làm trích dẫn.
  • J. Ayoub, Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique: chương bốn luận án của Joseph Ayoub là một tài liệu vô cùng chi tiết về lý thuyết phạm trù mô hình và cực kỳ self-contained. Nó trình bày tất cả những gì bạn cần biết về phạm trù mô hình (địa phương hoá Bousfield đã được đơn giản hoá điều kiện một chút so với cuốn Hirschhorn). Nếu bạn không muốn đọc hai cuốn đầu và muốn một phong cách "đi-thẳng-vào-vấn-đề" thì luận án của Ayoub là một tài liệu trên cả xuất sắc.

Hai tài liệu bên ngoài tham khảo thêm.

  • David Barnes, Constanze Roitzheim, Foundations of Stable Homotopy Theory.
  • D.C.Cisinski, Higher Categories and Homotopical Algebra.

Bây giờ bạn có thể bắt đầu với phạm trù vô cực (thực chất tài liệu trên chỉ là tham khảo và có lẽ chỉ bắt đầu với cuốn Goerss và Jardine là tạm đủ rồi) một cách không chính thức (tức là không chạm vào HTT hay HA).

  • Markus Land, Introduction to Infinity-Categories: một cuốn rất sơ cấp về phạm trù vô hạn, có thể nói là vô cùng baby version của HTT, nó có cả bài tập.
  • Charles Rezk, Introduction to quasi-categories: một note trình bày theo phong cách khá chi tiết, phù hợp với ai muốn đọc tài liệu tỉ mỉ. Nhưng nó khá giới hạn về overview.
  • Moritz Groth, A short course on $\infty$-categories: một note xuất sắc trình bày những gì bạn nên biết về phạm trù vô hạn. Nó không có mấy chứng minh nhưng mình tin đây là một điểm bắt đầu rất đáng tin cậy. Dù sao người ta nên biết về philosophy of $\infty$-categories trước khi học lý thuyết về chúng và đây là một tài liệu làm được điều này. Nó được viết phần nào giản lược từ đoạn đầu của HTT và HA.
  • Fabian Hebestreit, Ferdinand Wagner, Lecture notes for Algebraic and Hermitian K-Theory: ghi chép của Wagner từ bài giảng của Hebestreit, tuy không có chứng minh (chứng minh cần xem lại bài giảng của Hebestreit) nhưng như tài liệu của Groth nó trình bày ý tưởng rất tốt. Có thể đọc sau note của Groth nếu bạn muốn có thêm cái nhìn mang tính kỹ thuật trước khi bắt đầu với HTT.
  • Một số tài liệu khác từ phần tham khảo ở nlab.

Và rồi bạn có thể quay lại với HTT và HA. Chúc may mắn :icon6:




#742837 $(T f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)d t$

Đã gửi bởi bangbang1412 on 30-12-2023 - 23:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Giả sử $T$ có một giá trị riêng $\lambda$, tức là tồn tại một hàm liên tục $f$ (vì bạn không nói rõ nên mình giả sử nó liên tục trên trục số thực) sao cho $(Tf)(x) = \lambda f(x)$. Điều này suy ra $f$ khả vi, và đạo hàm hai vế cho ta $f(x) = \lambda f'(x)$. Phương trình này có nghiệm $f(x) = e^{\lambda x}$.

 

Như vậy không những $T$ không có giá trị riêng mà mọi số thực đều là giá trị riêng của $T$.




#742735 $f(x)$ không liên tục $ \forall x \neq 0$

Đã gửi bởi bangbang1412 on 27-12-2023 - 03:25 trong Giải tích

Gọi $a \in \mathbb{R} \setminus \left \{0 \right \}$ thì ta cần chứng minh $f$ không liên tục tại $a$. Lưu ý rằng liên tục và liên tục dãy là đồng nghĩa trên $\mathbb{R}$.

  • Nếu $a$ vô tỷ, ta lấy một dãy số hữu tỷ $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ hội tụ về $a$, $\lim a_n = a$. Khi đó $\lim f(a_n) = \lim a_n^2 = a^2$ trong khi $ f(\lim a_n) = f(a) = 0$ và do $a$ khác $0$ nên $f$ không liên tục tại $a$.
  • Nếu $a$ hữu tỷ, ta lấy một dãy số vô tỷ $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ hội tụ về $a$, $\lim a_n = a$. Khi đó $\lim f(a_n) = \lim 0 = 0$ trong khi $f(\lim a_n) =f(a) = a^2$ và do $a$ khác $0$ nên $f$ không liên tục tại $a$.

Nếu bạn có thắc mắc về việc tại sao ta chọn được một dãy số vô tỷ trong trường hợp thứ hai thì ta dựa vào trường hợp thứ nhất: lấy một dãy $b_n$ hữu tỷ hội tụ về $a$ (ở đây $a$ hữu tỷ thì có thể chọn $b_n = a$ với mọi $n$, nhưng lập luận này đúng với cả $a$ vô tỷ) và với mỗi $n \in \mathbb{N}^{\times}$ ta chọn một số vô tỷ $c_n$ trong đoạn $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})$, khi đó $\lim (b_n - c_n) = \lim b_n - \lim c_n = a - 0 = a$.

 

Ngoài ra thì $f$ liên tục tại $0$, thật vậy với mỗi $\epsilon > 0$ bé tùy ý, ta chọn $\delta = \sqrt{\epsilon}$, khi đó $\left |f(x) \right| < \epsilon$ với mọi $\left |x \right| < \delta$ và $f$ liên tục tại $0$ theo định nghĩa.




#742713 Điều kiện để một tập hợp khác rỗng/tồn tại là gì?

Đã gửi bởi bangbang1412 on 25-12-2023 - 21:24 trong Mệnh đề - tập hợp

Cảm ơn câu hỏi của em. Về thắc mắc này thì anh nghĩ nên ghi "$A$ không tồn tại với (hoặc là nếu) $m= n$" ($m= n$ là một trường, ngược lại nó là một trường khác) sẽ chuẩn nhất (về chữ tương đương ở post trên của anh cũng không chuẩn xác). Cách ghi $A= \varnothing$ nó lại hướng kiểu dữ liệu, tính chất đại số của nó ngây thơ hơn (trong một bài ở đây có nói, với tập rỗng thì đối ngẫu của nó là tập hợp rộng nhất $U$, tập hợp rộng nhất là tập không có tính chất gì). Ví dụ: Lúc đầu ta có $A$ không tồn tại với $m\geq n$ thì nếu ghi $A= \varnothing$ em sẽ không thể kết luận $A$ không tồn tại với $m= n$.

Và điều này, chúng ta đã hiểu lí do cú pháp $\LaTeX$ của tập rỗng lại là \varnothing ;)

 

Bạn này trả lời rất nhăng cuội, đây không phải là lần đầu. Mình không hiểu sao bạn lại làm ĐHV toán cao cấp được.

1) Câu hỏi của bạn leehuh là tập rỗng thì có tồn tại không, điều này không thực sự liên quan đến biểu diễn cụ thể của tập $A$ trong post ban đầu.

2) $m=n$ là một trường, ngược lại nó là một trường khác - Trường gì? Trường hợp hay trường số.

3) Khi bạn ghi ra chữ tương đương nhưng bạn lại không chắc, ý bạn là gì? Câu trả lời đầu tiên của bạn ghi điều kiện của $A$ không tồn tại là $m \geq n$ là hoàn toàn sai. Tập $A$ khi đó là rỗng, nó vẫn tồn tại, nhưng không chứa phần tử nào. Nói cách khác, ngay từ câu trả lời đầu tiên đã cho thấy bạn không đủ khả năng để trả lời câu hỏi tiếp theo của leehuh.

4) $A = \varnothing$ không liên quan gì đến dữ liệu và tính chất đại số ngây thơ là gì?

5) Tập hợp rộng nhất là tập không có tính chất gì - Nếu bạn nói thế thì khác gì mọi tập là không có tính chất gì?

6) Bạn trích cú pháp latex ra để làm gì?

 

Nói chung bạn luôn trả lời mọi câu hỏi theo một cách sợ người khác biết mình không có nhiều chữ. Các post khác kiểu bạn cứ liên tục dropping vào đầu người khác mấy cái link trong khi bạn thì chỉ chứng tỏ bạn không biết một cái gì. Việc cứ phải kéo dài lê thê các câu trả lời bằng cách cứ thêm các chi tiết, các từ rất nhỏ nhất - vốn không đóng góp một giá trị gì - vào các câu chứng tỏ điều đó. Bạn cực kỳ thích làm phức tạp câu trả lời của mình vì bạn (ngoài việc không hiểu) tin rằng cái gì phức tạp và dông dài thì đồng nghĩa với hiểu biết. Và ngược lại, vì sau khi đã dông dài nhưng không hiểu, bạn lại cứ phải lấp nó đi bằng sự lờ mờ. Bạn cứ thử đọc lại mà xem, câu trả lời của bạn toàn "không chắc" hoặc "hơi hướng", toàn những thứ thể hiện sự lờ mờ.

 

Nếu thích học toán bạn nên học cho cẩn thận; ít nhất hãy cố gắng trả lời một thứ một cách "đơn giản". Một người hiểu vấn đề không chỉ có thể thể hiện nó trên công thức một cách ngắn gọn mà ngay cả khi trình bày bằng chữ, bằng lời cũng phải tinh giản và gãy gọn.




#742547 Làm sao để học đại số tuyến tính ở bậc đại học

Đã gửi bởi bangbang1412 on 17-12-2023 - 20:18 trong Kinh nghiệm học toán

Anh nghĩ tàn dư của Toán phổ thông là tạo cho học sinh cảm giác rằng tính toán là công việc tầm thường, chỉ có suy luận trừu tượng mới có ý nghĩa. Điều này là hết sức sai lầm. Đối với học ĐH, việc em có hiểu lý thuyết hay không sẽ thể hiện ở việc em có khả năng tính toán các ví dụ cụ thể không. Nếu câu trả lời là không thì chứng tỏ ta vẫn chưa thực sự hiểu hết lý thuyết.

Cái này em nghĩ thực chất đúng cả với các bậc học cao hơn. Ví dụ cá nhân em thông thường khi bắt đầu vào một bài toán nghiên cứu mới sẽ lao vào tìm càng nhiều ví dụ để tính càng tốt và tính toán song hành với việc học lý thuyết là rất nhanh và hiệu quả. Nói đơn giản, có cung cầu đầy đủ.

 

:icon10: p/s: em nghĩ diễn đàn nên có nút downvote. 




#742336 $|x_{n} - y_{n}| \rightarrow 0$ và $...

Đã gửi bởi bangbang1412 on 02-12-2023 - 23:44 trong Giải tích

Do tập $[0,1]$ compact nên tồn tại một dãy con $(x_{n_k})$ của $(x_n)$ hội tụ về một điểm trong $[0,1]$ (lưu ý giới hạn này có thể là hai đầu mút, do đó nằm ngoài đoạn $(0,1)$ ban đầu). Gọi $a = \lim_{n_k \to \infty} x_{n_k}$, khi đó

$$\left |y_{n_k} - a \right| \leq \left |x_{n_k} - y_{n_k} \right| + \left |a - x_{n_k} \right|$$

và theo định nghĩa, khi $n_k \to \infty$ ta có $A = \lim_{n_k \to \infty} y_{n_k}$.




#742330 Lịch sử của giả thuyết Weil - J. A. Dieudonné

Đã gửi bởi bangbang1412 on 02-12-2023 - 19:45 trong Toán học hiện đại

Bài này vừa lên tạp chí Pi, bản ở diễn đàn là bản chưa edit, mình sẽ chỉnh sửa lại.

 

weilconj.jpg




#742318 CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.

Đã gửi bởi bangbang1412 on 02-12-2023 - 00:38 trong Giải tích

Bài toán này không đúng, ta chỉ có thể mong rằng $f$ có một số đếm được các điểm gián đoạn. Bạn có thể xem các ví dụ ở đây.

 

Nếu $x_0$ là một điểm gián đoạn thì

$$f(x_0^-) =  \lim_{x \to x_0^-}f(x) < \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+)$$

và ta có thể chọn một số hữu tỷ $a_x \in (f(x^-_0),f(x^+_0))$. Do tính đơn điệu nên tất cả các đoạn $(f(x^-_0),f(x^+_0))$ đều rời nhau. Ánh xạ

$$x \longmapsto a_x \in \mathbb{Q}$$

định nghĩa tốt và là một đơn ánh. Chứng tỏ rằng chỉ có đếm được điểm gián đoạn.




#742264 tài liệu học toán

Đã gửi bởi bangbang1412 on 27-11-2023 - 15:55 trong Tài liệu và chuyên đề Đại số đại cương

mn ơi cho e là e đang học về đại số trừu tượng và hình học đại số mà bản thân e muốn tìm hiểu sâu hơn thì nên tham khảo các tựa sách hay nào ạ

( bằng cả tiếng anh và tiếng việt ạ)

Background đại số của bạn là gì? Ví dụ bạn đã biết đại số tuyến tính chưa?




#742216 $$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2...

Đã gửi bởi bangbang1412 on 24-11-2023 - 23:53 trong Tích phân - Nguyên hàm

Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau với mọi số tự nhiên $N \geq 1$,

$$f(x) = \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1 - x^{2^k}} + x^{2^{N+1}-2}f(x^{2^N}).$$

Như vậy nếu $\left |x \right | <1$ thì ta có (bằng tính liên tục)

$$f(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1-x^{2^k}}.$$

Do hàm $f(x)$ có tính đối xứng $f(x)=f(-x)$ nên ta có thể giả sử $x \in (0,1)$. Cố định $x$ như vậy, ta thấy

$$f(x) \leq \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N x^{2^k-2} \leq  \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^k = \frac{1}{1- x}$$

và do đó hội tụ điểm.

 

Tuy nhiên mình không biết là hàm $f(x)$ có liên tục không và $f(1)$ là bao nhiêu.




#742108 Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Đã gửi bởi bangbang1412 on 11-11-2023 - 20:36 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Hãy giả sử ta đang làm việc trên một trường $K$ vô hạn nào đó. Gọi $A$ là một ma trận cỡ $(m \times n)$ với $m < n$ và ta xét hệ phương trình $Ax=\beta$ với $\beta \in K^m$. Giả sử phương trình có một nghiệm $x_0$, ta sẽ chứng minh nó có vô số nghiệm. Thực vậy, mọi nghiệm khác của nó đều có dạng $x + x_0$ với $x$ là nghiệm của $Ax=0$. Như vậy chỉ cần chứng minh phương trình thuần nhất $Ax = 0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn xem $A$ như một ánh xạ tuyến tinh thì tập nghiệm của nó chính là $\mathrm{Ker}(A)$ và do đó có số chiều là $n - \mathrm{rank}(A)$ theo định lý đẳng cấu thứ nhất. Tuy nhiên $\mathrm{rank}(A) \leq \mathrm{min} \left \{m,n \right \} = m$ nên số chiều $\dim \mathrm{Ker}(A)>0$, chứng tỏ $Ax=0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn muốn tránh sử dụng công thức số chiều thì có thể sử dụng phép khử Gauss, khi dùng phép khử Gauss với một hệ có số phương trình ít hơn số ẩn, sẽ luôn dư ra một số toạ độ tự do và có thể chọn tuỳ ý, dẫn đến vô hạn cách chọn.




#742100 CM: nếu $A\in M_{3\times 2}(\mathbb{R...

Đã gửi bởi bangbang1412 on 11-11-2023 - 03:32 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Với Weinstein–Aronszajn identity, có được $\det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ AA^{T} \right )$.
Tiếp theo bởi Singular value decomposition, lại có được $A= U\Sigma V^{T}, A^{T}= V\Sigma^{T}U^{T}$,
$\Rightarrow 1+ A^{T}A= V\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )V^{T}, 1+ AA^{T}= U\left ( \Sigma\Sigma^{T}+ 1 \right )U^{T}$ ($V$ unitary, $\det\left ( VW \right )= \det\left ( WV \right )= \det W$).
Lời giải bài toán Least-squares không phải duy nhất ($\det\left ( AA^{T} \right )= 0$), vì $\det\left ( 1+ AA^{T} \right )= \det\left ( 1+ A^{T}A \right )= \det\left ( 1+ \Sigma\Sigma^{T} \right )$.

Thú thật là mình không hiểu bạn viết gì, bạn cứ ném một đống link vào rồi bắt người ta đọc, đã thế còn không giải thích thêm gì, không giới thiệu thuật ngữ đấy là còn chưa nói tới việc những kiến thức bạn sử dụng là quá nhiều để giải một bài toán như thế này nên thậm chí nó có đúng, đấy là một lời giải tệ.

 

Lời khuyên, tập viết các chứng minh đơn giản và ngay ngắn trước khi cứ đi lượm link trên stack.




#742098 $rank(A+B) \le rank(A) + rank(B)$

Đã gửi bởi bangbang1412 on 11-11-2023 - 01:29 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Xem mỗi ma trận như một ánh xạ tuyến tính thì hạng của nó là số chiều của ánh xạ tuyến tính liên kết.

  • Ta có $\mathrm{rank}(f+g) \leq \mathrm{rank}(f) + \mathrm{rank}(g)$ do $\mathrm{Im}(f+g) \subset \mathrm{Im}(f) + \mathrm{Im}(g)$ và $\dim(V+W) \leq \dim(V) + \dim(W)$.
  • Ta có $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(f)$ do $\mathrm{Im}(f \circ g) \subset \mathrm{Im}(f)$. Để chứng minh $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(g)$ ta sẽ chứng minh $\mathrm{Ker}(g) \subset \mathrm{Ker}(f \circ g)$ nhưng điều này là dễ dàng cho $g(x) = 0 \Rightarrow (f \circ g)(x)=0$.



#741824 Bó bướng bỉnh là gì?

Đã gửi bởi bangbang1412 on 25-10-2023 - 03:26 trong Toán học hiện đại

Về vấn đề này tôi cũng không rành lắm, nhưng nếu bạn nào có cơ duyên thì có thể trao đổi thêm với GS. Lê Tự Quốc Thắng, chắc sẽ có được thêm nhiều thông tin hữu ích.

Nói cái gì đấy bạn?




#741660 Chứng minh tính chất của hợp 2 ánh xạ

Đã gửi bởi bangbang1412 on 08-10-2023 - 16:45 trong Đại số đại cương

a) $\exists x_1,x_2 \in X: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1 = x_2$.

b) $\exists y_1,y_2 \in Y: g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow \exists x_1,x_2\in X: f(x_1)=y_1 \wedge f(x_2)=y_2 \Rightarrow h(x_1)=h(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \Rightarrow y_1=y_2$.

c) $\forall \ y \in Y \Rightarrow g(y) \in Z \Rightarrow \exists x \in X: h(x) = g(y) \Rightarrow g(f(x))=g(y) \Rightarrow f(x)=y$.




#741535 f,g liên tục, f(x)=g(x) với x hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với x t...

Đã gửi bởi bangbang1412 on 26-09-2023 - 22:45 trong Giải tích

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.




#741332 Bó bướng bỉnh là gì?

Đã gửi bởi bangbang1412 on 08-09-2023 - 09:22 trong Toán học hiện đại

Anh tự nhiên thấy dịch là “bó gai” rất hợp (lúc này “perversity” sẽ dịch là “gai”), nhưng không biết mọi người nghĩ sao.
Một câu hỏi toán học: anh đoán monoidal structure của constructible derived category phải cảm sinh một monoidal structure trên phạm trù các bó perverse (cơ chế của cái cảm sinh này có trong Higher Algebra của Lurie, mình có thể trình bày kỹ hơn trong câu trả lời khác), nhưng mà dường như cấu trúc này không có ích lợi gì? Không biết ấn tượng này có đúng không.

Ban đầu lúc nghĩ ra đối đồng điều giao thì MacPherson và Goresky muốn đặt nó là "obstinate" do nảy sinh một sự cố là một số đối chu trình cứ nhất quyết không chịu giao hoành nhau. Nhưng từ obstinate không hợp lý theo ngôn ngữ của họ, nên họ để tạm là perverse rồi định đổi tên sau, cơ mà chưa kịp đổi tên thì đã nổi tiếng sau bài báo của Bernstein, Beilinson, Deligne.

Theo em biết thì không có cái monoidal structure nào được cảm sinh cả, bó perverse chỉ ổn định dưới tác động của đối ngẫu Verdier thôi.