với $n \geq 1$, "$\lfloor...\rfloor$" là kí hiệu phần nguyên
Lời giải:
Ta có:
$S_1=\lfloor\dfrac{1}{2}\rfloor=0$
$S_2=\lfloor\dfrac{1}{2}\rfloor+\lfloor\dfrac{2}{2}\rfloor=1$
$S_n=S_{n-1}+\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$ (1)
Theo (1) ta có
$S_{2k}=S_{2k-1}+k$
$S_{2k-1}=S_{2k-2}+k-1$
Cộng từng vế ta được
$S_{2k}=S_{2k-2}+2k-1$ (2)
Từ (2) ta lần lượt có
$S_{2k-2}=S_{2k-4}+2k-3$
...
$S_4=S_2+3$
Cộng các đẳng thức này suy ra
$S_{2k}=S_2+3+...+(2k-1)=k^2$ (3)
Từ (1) và (3) ta lại có
$S_{2k-1}=k^2-k $ (4)
--------------------------------
Bây giờ ta sẽ tìm một công thức mà biểu diễn được cả (3) và (4)
Xét $x=\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$,
với $n=2k$ thì $x=k$,
$n-2x=0$ 
$n-x=x$ 
$ x (n-x)=x^2=k^2$với $n=2k-1$ thì $x=k-1$,
$n-2x=1$ $n-x=x+1$ $ x (n-x)=x^2+x=k^2-k$Từ đây ta có công thức duy nhất để tính $S_n$
$S_n=n\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor-\lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 15-12-2010 - 13:47
