Phần nguyên của số thực x, kí hiệu là $\lfloor x\rfloor$ là: "số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x"
VD: $\lfloor 3.2\rfloor=3;\;\lfloor 3\rfloor=3;\;\lfloor -1.5\rfloor=-2;\; \lfloor\sqrt{3}\rfloor= 1$; v.v...
Các phát biểu sau là tương đương:
$ \left\{\begin{array}{l}n \in \mathbb{Z}\\ n<x\end{array}\right.\Rightarrow n \leq \lfloor x\rfloor.$
$\lfloor x\rfloor \leq x < \lfloor x\rfloor+1$ $x-1 < \lfloor x\rfloor \leq x$
Ta cũng gọi $\{x\} =x-\lfloor x\rfloor$ là phần lẻ của số thực x
Từ định nghĩa phần nguyên ta có
$0 \leq \{x\} <1$
Một số kết quả cơ bản:
- $\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n$, với $n \in \mathbb{Z}$
- $\lfloor -n\rfloor=-\lfloor n\rfloor$ ,với $n \in \mathbb{Z}$
- $\lfloor -x\rfloor=-1-\lfloor x\rfloor$, với $x>0$ và $x \not\in \mathbb{Z}$
- $x>y \Rightarrow \lfloor x\rfloor \geq \lfloor y\rfloor$
- $\lfloor x \rfloor +\lfloor y\rfloor \leq\lfloor x+y\rfloor \leq\lfloor x \rfloor +\lfloor y\rfloor+1$
$n=p.m+q$ với $0 \leq q \leq m-1$ (n chia m được p dư q)
Ta có: thương là $p=\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor$
phần dư (mod m) là $q=n-m\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor$
Hay đơn giản là: $0 \leq n-m\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor \leq m-1$
(Công thức này rất có ích trong việc biểu diễn chung 1 công thức tổng quát cho m trường hợp cần xét)
Hệ quả: $\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\dfrac{x}{n}\right\rfloor}{m}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{x}{m.n}\right\rfloor$ Với mọi số nguyên dương $m, n$
(Các bạn tự CM nhé!)
Nghỉ cái đã: Bài sau mình sẽ cho các bạn một số bài tập VD.