Chủ đề này có 17 trả lời

[quantum-cohomology]

Giả thuyết Hodge là 1 trong 7 bài toán mở của thế kỷ mà phần thưởng của nó là giải thưởng Clay. Trong hình học phức giả thuyết đó được phát biểu ngắn gọn trong 2 dòng:
Hodge conjecture Cho X là 1 đa tạp phức xạ ảnh. Vậy thì mọi lớp đồng điều trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?c_1 được định nghĩa như sau: first Chern class của 1 holomorphic line bundle http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega_{X} là sheaf của các global holomorphic 1-Forms. Đối với 1 điểm cố định ( fixed base point ) http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?2m vậy thì intersection pairing trên midle cohomology bằng đúng với signature của đa tạp đó.

Định lý chỉ số của Hodge được phát biểu dưới dạng giải tích: Cho X là 1 mặt compact Kähler (2-fold) vậy thì intersection pairing http://dientuvietnam...tex.cgi?h^{p,q} để chỉ số chiều của Dolbeault cohomology http://dientuvietnam...ex.cgi?H^{p,q}.

Bây giờ ta sẽ định nghĩa lớp cơ bản ( Fundamental class ) của 1 đa tạp con là với điều kiện với mọi

1 lớp đồng điều trong được gọi là giải tích nếu nếu được chứa trong 1 không gian vector trên trường các số hữu tỉ, mà được sinh bởi các lớp fundamental classes.

1 điều đáng lưu ý đối với Hodge conjecture ở trên đó là giả thuyết hoàn toàn sai nếu thay trường hữu tỉ bởi vành số nguyên. Có thể xem nguyên nhân này ở bài của Grothendieck.

Ở trên chúng ta trình bày Hodge conjecture dưới dạng hình học phức, có nhiều cách trình bày nó, có thể xem Standard conjecture của Grothendieck, ông đã phát biểu generalized Hodge conjecture dưới dạng hình học đại số, bằng nhiều ngôn ngữ trừu tượng như Galois cohomology và Motivic cohomology.

Tôi nghĩ giả thuyết Hodge là 1 giả thuyết đáng để thực sự tấn công và làm việc với nó, cho dù chúng ta có thể không chứng minh được nó, nhưng xung quanh giả thuyết Hodge có hàng đống công việc có thể làm được. Các bạn có thể đọc các bài báo của Deligne để tham khảo thêm mối liên hệ giữa Galois theory, K-Theory và Hodge conjecture.

Bên cạnh việc tìm hiểu thêm các công cụ trừu tượng của hình học đại số như Galois hay motivic cohomolgy hoặc của topo đại số như K-Theory và Index theory của Atiyah, thì việc nắm vững các kiến thức cơ bản của Hình học phức như Hodge Structure là cực kỳ quan trọng. Nói đơn giản 1 cấu trúc Hodge hữu tỉ ( rational Hodge structure ) với trọng lượng k chứa 1 không gian vector hữu tỉ H và phép phân tích . Ngoài ra việc nghiên cứu algebraic cycles thực sự là có sense bằng việc sử dụng nhóm đại số và Borel homology để tấn công Schubert varieties.

Giả thuyết Hodge còn được tổng quát trong hình học đại số và được gọi dưới tên Tate-Conjecture. Việc hiểu thực sự về các đường cong đại số thực sự quan trọng, tiêu biểu có thể nhắc tới như Tate-Curve, elliptic curve và các stable curve trong đối đồng điều lượng tử.

Tôi cảm thấy thực sự 1 vẻ đẹp nối liền các ngành với nhau, 1 bên là hoàn toàn mang tính đại số như lý thuyết Galois, motivic, 1 bên là hình học như là hình học phức, Schubert varieties và 1 bên là Vật lý lý thuyết: Quantum cohomology.

Sẽ thật thiếu sót nếu như không nhắc tới Jacobi varieties, nó đóng góp 1 vai trò không thể thiếu trong việc hiểu được các cấu trúc hình học đằng sâu bên trong giả thuyết Hodge.

------
Ở topic này

[quantum-cohomology]

Giả thuyết Hodge (phần 2)
Trong phần này tôi muốn phát biểu giả thuyết Hodge dưới dạng tổng quát hơn và đưa ra 1 số ví dụ trong đó giả thuyết Hodge được biết đến là đúng. Tuy nhiên ngay cả trong nhiều trường hợp cụ thể nhất (ví dụ như abelian 4-fold dạng CM) thì vẫn là 1 vấn đề hoàn toàn mở ( có thể xem papers của Mumford ).

Cho X là 1 đa tạp xạ ảnh n chiều. Chúng ta nhắc lại các kết quả chính của lý thuyết Hodge:
1. Hodge decomposition: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Z} như là 1 mạng (lattice) trong không gian vector thực

Như ở bài trên tôi đã định nghĩa 1 cấu trúc Hodge với trọng lượng k ( với hệ số hữu tỉ ), hoàn toàn tương tự ta định nghĩa 1 cấu trúc Hodge trọng lượng k với hệ số phức. Mỗi một cấu trúc Hodge trọng lượng k có 1 dãy lọc giảm ( decreasing filtration ) trong đó

Chúng ta có thể kiểm chứng lại

Nếu H và H' lần lượt là 2 cấu trúc Hodge với trọng lượng là k và k' , trong đó k' = k + 2r, với r là 1 số tự nhiên nào đó thì người ta có thể định nghĩa 1 ánh xạ dạng (r,r) giữa các cấu trúc Hodge như là 1 ánh xạ hữu tỉ tuyến tính ' thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện tương đương sau:

1.
2.

Và do đó người ta có thể định nghĩa 1 cấu trúc Hodge con ( subHodge structure ) như là 1 cấu trúc Hodge với phép ánh xạ bao ( inclusion homomorphism ).
Cùng với việc so sánh với công thức Künneth ( Künneth formula trong topo đại số ) và sử dụng dãy khớp Gysin ( Gysin sequence ) chúng ta đi đến định lý sau:

Cho là 1 đa tạp con với codimension ( đối chiều ) p. Vậy thì là 1 cấu trúc Hodge con của

Chúng ta bây giờ có thể xây dựng arithmetic filtration trên đối đồng điều hữu tỷ như sau:
Arithmetic filtration được ký hiệu bởi của đối đồng điều hữu tỷ được cho bởi công thức sau:

trong đó là đa tạp con (subvariety) có đối chiều là .

Định lý sau đây sẽ giúp ích cho việc phát biểu giả thuyết Hodge dưới dạng mở rộng ( generalized Hodge conjecture ):
.
Và ta ký hiệu arithmetic filtration nói trên như là . Chú ý rằng nếu vậy thì ta thu được giả thuyết Hodge thông thường như đã phát biểu ở bài trên.

Bây giờ ta hãy tìm hiểu phản ví dụ của Grothendieck, như ông đã đưa ra trong bài báo: "Giả thuyết Hodge tổng quát sai vì 1 số lý do tầm thường" trên số 8 tạp chí Topololgy (1969) : Hodge's general conjecture is false for trivial reasons.

Ví dụ điển hình đó là Tori, xét đa tạp với là các tori trong đó và ta giả sử rằng với j = 1,2,3.

Bằng Künneth formula chúng ta có thể tính toán được
Tại sao lại mod 2, tôi nghĩ, nếu ai thực sự quan tâm tới giả thuyết Hodge này thì đều nên đặt bút tính toán lại thử phản ví dụ này của Grothendieck. Bây giờ ta đặt và

Ý tưởng tiếp theo để dẫn tới kết quả phản chứng đó là sử dụng Poincare' Duality cũng như Serre duality ( đối ngẫu ).
Trong 1 ngày gần đây tôi dự định sẽ viết 1 bài riêng về vẻ đẹp cũng như ý nghĩa của tính đối ngẫu trong lý thuyết (đối)-đồng điều. Trong bài này tôi chỉ nhắc tới như là 1 công cụ để sử dụng.
Và cuối cùng là sử dụng 1 vài kết quả của đường cong ellip ( elliptic curves ) dạng CM để đi đến việc kết luận sai của giả thuyết Hodge.

Trong những trường hợp nào thì giả thuyết Hodge đúng. Trước hết cần phải nhận xét là trong giả thuyết chúng ta không thể làm nhẹ điều kiện: Đa tạp là (đại số ) xạ ảnh ( algebraic projectiv) bằng điều kiện đa tạp Kähler.

Giả thuyết Hodge đúng cho mọi đa tạp Kähler ở mức (1,1), điều này được biết thông qua Lefschetz theorem cho các lớp đối đồng điều (1,1)
1 lớp các đa tạp khá quan trọng mà người ta biết đến ở đó giả thuyết Hodge đúng, đó là đa tạp cờ ( Flag manifold ).
Tôi hy vọng 1 ngày gần đây sẽ có thể trình bày vấn đề này dưới cách nhìn của đối đồng điều lượng tử ( quantum cohomology ), 1 cách nhìn hiện đại về hình học đại số phức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 19-02-2006 - 10:47

[Polytopie]

QC, kể ra thì giới thiệu những thứ này rất hay- nhưng vấn đề là nếu nói hình thức quá- như cậu đang làm- thì ích lợi có vẻ hơi ít. Vì nếu ai đủ khả năng để hiểu những gì cậu viết một cách hình thức- tức là đã biết về ngành này rồi hoặc có kiến thức cơ bản khá sâu rộng- thì không cần nghe giới thiệu nữa, còn lại những người muốn tìm đường đi nhưng chả biết gì về nhiều thứ như tớ chẳng hạn- đọc lại chẳng thấy được gì- vẫn phải đi tra Google kiếm chỗ nào có ai đó giải thích cụ thể dễ hiểu "down to earth" hơn. Ví dụ đọc sách người ta bảo K-Theory là những thứ lý thuyết xây dựng trên topology, trên nhóm Grothendieck này, trên lý thuyết Borel kia thì tớ chịu chả hiểu được, vứt sách luôn không đọc tiếp. Thế nhưng tra chỗ khác- có bác giáo sư giải thích đơn giản, đưa ra một ví dụ là người ta dùng K-theory để nghiên cứu sự xoắn của các lỗ đen, hay K-theory là một dạng tổng quát hóa của lý thuyết ma trận- thì tự dưng thấy mình có vẻ "nhìn thấy" một cái gì đó cụ thể hấp dẫn- mặc dù thật ra tớ cũng chả hiểu Lỗ Đen trong vật lý nó là cái gì.
Tớ nghĩ, cách tốt nhất để giới thiệu các ngành toán cao là vẫn phải làm thế nào làm cho nó trở nên cụ thể, qua một vài ví dụ dễ "nhìn thấy" nào đó. Chỉ có cách đó mới tạo ra được motivation cho những người khác tham gia nghiên cứu. Cũng vì thế mà anh thấy các cuốn sách toán không giới thiệu ngay mục tiêu chính, nội dung khái quát của nó, là các cuốn sách vứt đi, không có ích lợi to lớn gì. Vì viết sách chủ yếu là để người khác học- cho nên không nên viết giống như viết papers- dành cho các chuyên gia. Các sách toán hiện nay bị cái bệnh đó- không tạo motivation cho người đọc, mà chỉ trình bày một cách càng chặt chẽ càng đầy đủ các thành quả của một lý thuyết càng tưởng là hay. Nhưng đó là nhầm. Những cuốn sách toán kinh điển nhất- lại đa phần là những cuốn tạo ra được motivation cho người đọc- cho họ nhìn thấy vision của việc học ngành toán đó và vì vậy giúp cho ngành toán đó trở nên phát triển mạnh.

Tớ cũng muốn biết về Galois Cohomology và nhiều thứ cậu nói đến, nhưng có cách nào để ví dụ nó cụ thể hơn không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 21-02-2006 - 22:57

[quantum-cohomology]

Rất tiếc là em không biết gì cụ thể cả, ngoài việc em có thể post 1 vài bài tập cụ thể. Việc lấy ví dụ thì em cũng chỉ có thể lấy ví dụ trong toán thôi, chứ các ví dụ liên quan đến các ngành khác ví dụ như lỗ đen mà anh Polytopie nói thì em chịu, vì em cũng chưa bao giờ quan tâm tới những cái mà mình học liệu nó có ứng dụng gì cụ thể không.
Phần này quả thực em viết ngoài mục đích chính là tìm hiểu giả thuyết Hodge ra thì em cũng không biết phải giới thiệu gì thêm. Cũng có thể tìm hiểu vài ứng dụng của lý thuyết Hodge trong lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ellip, hoặc trong điện động lực học ( Electro dynamic ) vì em nghe nói đại khái là Hodge dùng motivation từ phương trình Maxwell để phát triển nên lý thuyết Hodge này. Về tính cohomological của lý thuyết có thể lấy motivation từ lý thuyết truờng gauge, hoặc trong lý thuyết Yang-Mils. Tuy nhiên em không biết nhiều về phần này nên cũng chả biết phải giới thiệu như thế nào. Chắc là vì cách đào tạo toán kiểu hiện đại nó thế, em cũng không thể khá hơn được. híc híc.

Riêng về Galois cohomology thì em chỉ biết cuốn của Serre là duy nhất. Có lẽ trước khi bắt đầu với Galois cohomology thì nên ôn lại đôi chút kiến thức cơ bản của lý thuyết Galois.

[Polytopie]

Thứ mà tớ tò mò nhất hiện nay có lẽ là đa tạp Calabi-Yau và chính mấy hướng Quantum Cohomology/Quantum Geometry mà cậu đang học. Lý do thì là xuất phát từ vật lý. Thấy người ta viết không gian Calabi-Yau 6 chiều đang là thành phần nền tảng giúp cho lý thuyết Dây phát triển, cho nên tớ thấy nó rất chi là hấp dẫn.
Nói chung theo quan điểm của tớ thì phần thú vị nhất của toán học được dùng vào vật lý vũ trụ. Còn các phần thuần túy toán học hơn như Galois Cohomology thì tất nhiên là rất đẹp.

[quantum-cohomology]

Nếu anh quan tâm tới Calabi-Yau 3-fold ( real 6-dimensional ) thì như đã nói K3 surface là 1 ví dụ quan trọng nhất. Còn Calabi-Yau manifolds thì em biết cũng không nhiều lắm.

[Polytopie]

Nếu tớ không nhầm thì từ khi Witten đưa ra lý thuyết Mẹ ( M Theory với từ M có 2 nghĩa: mistery theory hoặc Mother of strings) không gian vũ trụ đã bị đẩy từ 10 chiều (gồm 4 space-time Minkowski và 6 Calabi-Yau- tức là Calabi-Yau Threefold) lên thành 11 chiều. Vì thế không hiểu hiện giờ các sư phụ ấy giải thích không gian 11 chiều gồm 4 chiều Mínkowski và mấy chiều Calabi-Yau đây?- chả lẽ 3 rưỡi?
Hôm nọ tớ liếc qua mấy cuốn gồm "Mirror Symmetry and Algebraic Geometry", "Quantum felds and Strings for mathematician", "Calabi-Yau Manifolds", "Calabi-Yau Varieties and Algebraic Geometry" ... thấy cuốn nào viết cũng khó quá- toàn đòi hỏi kiến thức toán tương đối cao, phải biết sẵn Alg. Geometry, Diff. Geometry, Topology rồi trong khi trình độ của tớ về mấy hướng này coi như tậm tịt.
Tớ tìm được cuốn Introduction to Symplectic Geometry thấy viết khá cơ bản, có thể học được nhưng lại không biết Symplectic Geo. nó xuất phát từ mục đích nào, thiên về cái gì nên đang băn khoăn. Có ai biết về mấy thứ này xin làm một bài hướng dẫn về chúng từ cấp độ sinh viên i huyền ì như tớ đọc hiểu thì quả là rất cảm tạ.

-----
PS: QDoremon: ừ, anh quay lại toán nên phải vào học hỏi anh em thôi, chứ cứ ngồi thư viện đọc hết cái này cái khác thì không có thời gian, giờ nhiều việc phải quan tâm quá, không như ngày trước nữa.

[quantum-cohomology]

Anh KK đâu rồi, vào đây làm ngay 1 bài về symplectic geometry đi nào. Anh Polytopie có lẽ phải hỏi chuyên gia, chứ em thì nghiệp dư trong lãnh vực symplectic geometry rồi.

Có 1 cách khác để tấn công Calabi-Yau đó là complex geometry, cái này anh có thể tìm cuốn Introduction to complex geometry của Huybrechts, khá là dễ đọc, hoặc có thể xem Principles of algebraic geometry của Griffiths and Harris, viết rất tỉ mỉ về hình học đại số phức.
Huybrechts có thời là giáo sư ở Köln, thường cũng hay qua Bochum giảng dạy ở Graduate College về Geometry and Physics giữa Bonn-Köln-Bochum.

[Kakalotta]

Một trong những cái mà em hiểu về quantum cohomology là như sau.
Như đã biết, ứng với một đa tạp đại số trên C người ta ứng nó với một đại số đối đồng điều. Tuy nhiên, khi ta blow down đa tạp đại số đó thì tích cup trên đó không còn bất biến nữa.
Một ý tưởng đó là biến dạng cái vành đối đồng điều này để sao cho cup product vẫn bât biến đối với phép blowdown. (nói một cách lịch sự là liên tục).
Vấn đề đặt ra là biến dạng nó như thế nào.
Người ta biến dạng đại số đối đồng điều thành đại số các chuỗi lũy thừa theo q, sao cho tích lượng tử là tích cup thông thường khi q=0.
Các hệ số của cái chuỗi này được là hàm số của các bất biến gromov- Witten. Bất biến này lại được tính như tích phân trên không gian moduli của các đường cong giả chinh hình trên đó. Đây chính là một cầu nối hình học symplectic và đối đồng điều lượng tử.
Cách tiếp cận thứ 2 là thông qua đối ứng Mckay, tuy nhiên nói thật là em chưa nắm được đủ nhiều. đại khái là nghiên cứu đối đồng điều của minimum resolution của một orbifold, sau đó cũng tính các bất biến của nó. Cách hiểu thứ 3 thông qua đối ứng CalabiYau, tuy nhiên nói thật là em chưa vào được cái trò này. Nói chung em chưa có thời gian tấn công cái hướng này. Có một lão rất mạnh về cái trò này tên là Givental, nhưng mà làm với lão này khó lắm, rất khó tính.
Nói chung thì em cũng đang thấy thiếu kiến thức về hình học đại số, cụ thể hơn là compact hóa delign-mumford, tuy nhiên em chưa có thời gian để học hình học đại số cho nó nghiêm chỉnh. Có lẽ đến năm thứ 3 học là vừa, bây giờ em còn lắm thứ quá. Đang chết dí bên phần CFT.

Một lợi ích của QC là dùng để xây dựng các bất biến đối đồng điều khác cho các điểm kì dị.

[Polytopie]

Nói chung mình cũng cứ băn khoăn lung tung không biết học gì bấy lâu nhưng giờ tìm thấy mục đích rồi. Từ kỳ sau tớ chạy sang trường bên cạnh tu hình học đại số từ A- Z vậy. Ở Berlin có 3 trường Đại học, cho nên người ta phân chia nhau ra mỗi trường thiên về một hướng. Trường tớ thiên về toán rời rạc, toán kinh tế và hình học giải tích, toán vật lý cho nên muốn học hình học đại số phải chạy sang trường Humboldt ở tít xa, muốn học topo đại số lại phải chạy sang trường Free Uni. cũng cách khá xa. Thế mới ngại.

Mục tiêu chính của tớ bây giờ là kết hợp mấy cái sau: Polotopes, toric varieties và Calabi-Yau Mirror. Có lẽ sẻ thử chuyển hóa một phần sang hình học nhiệt đới xem có đơn giản hóa được vấn đề chút nào không. Có lẽ tớ phải ngồi học thử độ 1-2 kỳ tu luyện hình học đại số với cả hình học giải tích xem mình có chơi nổi mấy thứ này không đã. Có gì KK và QC giúp đỡ tớ với nhé.

[quantum-cohomology]

toric varieties là 1 lãnh vực hẹp rất hay, sử dụng khá nhiều combinatoric. Nếu muốn nghiên cứu tương tác giữa hình học đại số và hình học giải tích thì tốt nhất đọc cuốn Topics in algebraic and analytic geometry của Griffiths. Đây là 1 cuốn khá hay về hình học đại số, giải tích phức và K-theory. Nếu anh Polytopie muốn tự nghiền ngẫm về Calabi-Yau 3-folds thì cũng nên đọc cuốn Variations of Hodge structure of Calabi-Yau threefolds của Voisin. Voisin viết ngoài ra 2 tập về hình học đại số phức, bao gồm tất cả các phần quan trọng nhất để nắm bắt hiểu biết về Hodge theory.
Calabi-Yau manifolds nói chung thì tuy em không biết nhiều nhưng có 1 lecture của Huybrechts về Calabi Yau manifolds and related geometries cũng OK, đọc được. Trình bày khá cơ bản về holonomy.
Toric varieties thì có lẽ Fulton là vô địch.

[hello]

nói về lỗ đen và thuyết dây thì em biết vì em học khoa lý ,nhưng do mới là năm thứ 2 DHTH lên chưa hiểu thấu đáo về thuyết dây ,nói chúng nó vượt khỏi sự tưởng tượng của em .nói về lỗ đen thì em nói đc và cũng hiểu vấn đề về sự hình thành của nó .thông qua bài thảo luận này mà em choáng quá ,toàn những kiến thức toán học ở tận đâu ,khó hiểu qua mất .xin hỏi mấy đại ca du học ở nước nào thế ? giỏi ghê cơ !

[quantum-cohomology]

Ồ cậu Hello học khoa lý năm thứ 2 tổng hợp à. Mình vốn cũng dân lý cũ B1K45, nhưng thôi lý lâu lắm rồi. Cậu mới năm thứ 2 mà dám đọc lý thuyết dây và lỗ đen là can đảm đấy. Các môn cơ bản như cơ học lý thuyết, điện động lực học, cơ học lượng tử, vật lý thống kê, phương trình toán lý, lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết nhóm,... cậu đã học qua chưa?

To Politopie: Anh có thể xem thêm cuốn complex Abelian varieties của Lange và Birkenhake. Đây là cuốn khá tốt có cả Toric varieties ( tuy không bằng Fulton ) nhưng trình bày cực kỳ sáng sủa và cơ bản.
Ngay ở lời giới thiệu tác giả cũng trình bày motivation từ việc lấy tích phân các hàm hyperelliptic. Và nói chung khi trình bày về Moduli thì em thích kiểu cách của cuốn này. Cũng xin nói thêm là bài tập trong cuốn đó cũng khó ra phết.

[Polytopie]

Ừ, mình cũng đã tạm xác định đượng hướng cần lao vào rồi. Cứ từ từ thử chạy một năm xem sao. Giờ mình sẽ đi đường hình học đại số, hướng mắt thêm về hình học phức để sau còn chạy sang lý thuyết dây được. Trong số các cuốn sách về hình học đại số và hình học phức- cuốn nào đọc hay nhất nhỉ?
Của Harthorne và Griffiph& Harris hay là những cuốn khác như của Eisenbud?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 10-03-2006 - 23:19

[quantum-cohomology]

Hartshone viết trừu tượng, Griffiths và Harris viết gần với hình học phức hơn. Eisenbud thì đại số giao hoán. Tùy khẩu vị của anh, cả 3 hướng đều hay.
Tuy nhiên nếu em là anh thì em sẽ theo hướng combinatoric đến cùng, không rẽ ngang. Đây là 1 hướng hay. Học thêm HHDS thì cứ học thêm, nhưng vẫn nên giữ vững tay chèo của mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 11-03-2006 - 00:11

[pizza]

Em thấy cuốn Hartshorne có vẻ nổi , nhưng khi đọc thì tẩu hỏa nhập cbn ma , hãi thật ( tại em dốt thôi chứ em thấy nhiều đồng chí hay trích dẫn cuốn này lắm ) . Nếu nhập môn thì em nghĩ cuốn Undergraduate AG của Reid là nhẹ nhàng nhất . Tuy nhiên nó chưa đả động gì đến ddd cả , do đó chắc ko đủ dùng cho anh . Còn cuốn của Eisenbud thì em ko rõ , nhưng dày cộp thế kể cũng choáng .

Còn về hhp em nghĩ chắc là giải tích phức +hhds nên bác cứ học giải tích phức nhiều biến đã . Còn sách thì em thấy có 2 tập Hodge theỏy and CAG , tác giả la voisin thì phải .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 11-03-2006 - 00:26

[quantum-cohomology]

thì tất nhiên là của voisin rồi, mình thích khẩu vị kiểu voisin, viết rất ok. Voisin ngoài ra còn viết nhiều cuốn mỏng thôi nhưng cũng ok lắm về Calabi-Yau và Mirror symmetry, đọc cũng được.

[BũiLeAnh]

Tôi mới thấy cái presentation về Hodge conjecture nên gửi lên để mọi người đọc cùng:
http://www.ma.utexas...e/netscape.html