Chủ đề này có 18 trả lời

[QHHH]

Mình muốn đặt ra 1 câu hỏi và muốn cùng thảo luận với mọi người về vai trò của hình học cao cấp.
Trong hình học cao cấp cái ta quan tâm đến việc xây dựng hình học hơn là việc giải 1 số bài toán cụ thể.
Nhưng tôi nghĩ rằng việc XD hình học có ý nghĩa tạo 1 nền tảng cơ sở lý thuyết vững chắc cho các định lý và các bái toán sơ cấp sau này.Không biết có đúng vậy không.Nếu không việc XD các lọai hình học sẽ không có 1 ứng dụng cụ thể nào khác.
Và thực chất ở đây tôi muốn nói liệu có 1 công cụ tổng quát nào giúp ta giải thành công tất cả cả các bài toán mang nd sơ cấp.Liệu rằng hình học cao cấp có đáp ứng đuợc điều này vì ta biết rằng đến nay vẫn còn nhiều bài toán hình học sơ cấp là bài toán mở.
Mong các bạn hãy cùng thảo luận với tôi.!!!

[Kakalotta]

Nói thật là mình nghĩ rằng nói chung là hình học sơ cấp ngoài mục đích đơn thuần như một số người khoác cho nó là rèn luyện tư duy thì chả có mấy ứng dụng và quan hệ với hình học hiện đại (quan điểm cá nhân). Cách đặt vấn đề trong hình học hiện đại khác rất xa so với hình học cổ điển. Hầu hết các bài toán hình sơ cấp đều có nguồn gốc từ cách đây gần 1000 năm (hoặc lâu hơn, mình không biết) và bây giờ thì ngoài mục đích luiyện thi học sinh giỏi thì chả có lợi lộc gì. Ví dụ như chỗ mình là phòng hình học và topo nhưng nếu mang mấy bài hình không gian ở các lớp luyện thi ra đố thi chắc là chịu chết.

[QHHH]

Cậu nói rất đúng,Hình học sơ cấp là những bài toán đầy mẹo mực và ''rất khó'' .Và đúng là hình học sơ cấp ra đời từ nhiều thế kỷ trước ,nhưng nguồn gốc của nó là các bài toán cụ thể,cho nên theo mình nó có ứng dụng lớn trong đời sống.
Vậy theo cậu thì cái mà mình thắc mắc là ứng dụng,mục đích của hình học cao cấp là gì.???
Trong hình học cao cấp theo quan điểm của Clai :''Hình học là môn học nghiên cứu các bất biến của 1 nhóm các phép biến đổi trong 1 không gian''.Nói vậy thì hình cao cấp chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu các bất biến,Nhưng nghiên cứu bất biến với mục đích gì thì mình chưa rõ,liệu có phải để phân loại hình học...nếu chỉ là phân loại hình học thì mục đích này thật bình thường.
Mình muốn tìm 1 sự liên hệ và ứng dụng vào thực tế của hình học.Và thực chất nếu bạn nói hình học sơ cấp khác xa hình học cao cấp thì chưa hoàn toàn đúng lắm.
Mình lấy VD bài toán :''cầu phương đường tròn'' là 1 bài toán ''sơ cấp'' đặt ra từ hơn 1000 năm trước nhưng cách giải nó thì hoàn toàn không sơ cấp tí nào.Và hình học Lovasepki theo bạn là cao cấp hay sơ cấp,nhưng nó sẽ vô nghĩa nếu không có ứng dụng cụ thể trong thiên văn nghiên cứu các khoang cách lớn và đặc biệt là trong thuyết tương đối.Bạn hãy thử trả lời mình???

[Kakalotta]

Cái chuện vô nghĩa của hình học Lobachevski thì mình không dám bàn đến vì minh không biết gì về nó. Tuy nhiên, theo mình nghĩ, hình học này xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu topo số chiều thấp và giải tích. Ví dụ như xét nửa mặt phẳng trên (đẳng cấu với SL(2,R)/SO(2,R)) )với metric dxdy/y^2 thì sẽ là một không gian hyperbolic rất nổi tiếng trong giải tích hiện đại và lý thuyết số. cụ thể hơn trên không gian
SO(2,R)\SL(2,R)/SO(2,Z) , các dạng vi phân trên này được gọi là dạng modular và từ đó sinh ra không biết bao nhiêu ứng dụng trong lý thuyết số, lý thuyết biểu diễn tự đẳng cấu....
Còn cái khái niệm nhóm các bất biên của Felix Klein thì nói thếnào nhỉ? Khi nghiên cứu một lớp đối tượng thì việc đầu tiên người ta quan tâm là nó gồm những đối tượng nào (sai khác một phép đẳng cấu). Tuy nhiên việc làm này khó tới mức không thể giải quyết được nên người ta phải sử dụng một số phép phân phân loạithô hơn thông qua các phép biến đổi và các bất biến. Do đó, nếu mà gọi đây là thật bình thường thì.. quả thật mình không có ý kiến.

[quantum-cohomology]

Tớ xin mạnh dạn phát biểu thế này: Chuyện hình học cao cấp vượt ra xa khỏi khuôn khổ tưởng tượng của con người là chuyện di nhiên thôi. Nhân tiện mình có đọc 1 topic về không gian vector topo thì thấy có nhắc đến PDE (Partial Differential equation) nên ở đây mình xin mạn phép được phát biểu là việc phân loại Hình học cao cấp có 1 ý nghĩa thực tiễn lớn lao. Trước hết là việc lượng tử hóa ( quantized) các phương trình đạo hàm riêng ví dụ như hệ phương trình Navier-Stockes. Đây là 1 phương trình có nhiều ứng dụng trong lý thuyết Chaos. Việc lượng tử hóa phương trình này thu đươc 1 lý thuyết mới là quantum chaos theory.

Nhân tiện nói đôi chút về phương trình đạo hàm riêng lượng tử: Thực chất là sự mở rộng tự nhiên ( natural extension) trong Category của định nghĩa Hình học thông thuwongf trong Category của đa tạp không gian hoán (noncommutative manifold).

Việc tích phân các phương trình đạo hàm riêng thực chất là tìm formal integral của nhóm Cobordism của các phương trình. Các định luật vật lý của phương trình đạo hàm riêng lượng tử ( quantum PDE) tuân theo quy tắc quantum HOpf algebra.

Định nghĩa sau đây sẽ chỉ rõ mối quan hệ của Quantum PDE và Algebraic Topology:
1 quantum PDE bậc k trên fibre bundle p : U ---> M được định nghĩa bởi category của các đa tạp lượng tử ( quantum manifolds) là 1 fiber bundle con của k-quantum derivative space trên M.

Ngoài ra còn có các định nghĩa hình thức khác như quantum formal-integrable, Spencer quantum cohomology... Trong đó:
1 tuantum vector space với số chiều (m1,...,m_s) thuộc N^s, xây dựng trên 1 quantum algebra A = A1xA2x...xAs^ms gọi là E.

1 quantum manifold M có số chiều (m1,...,ms) trên 1 quantum algebra A - A1x..., As
là 1 đa tạp lồi địa phương xây dựng trên E với Q^k_m là quantum class. Nếu gọi U là tập con của M và x^a: U--->sẽ được gọi là quantum coordinates.
Đối với hệ phương trình đạo hàm riêng lượng tử, ví dụ như quantum naiver-stockes thì có lẽ trình báy mất nhiều thời gian, ví dụ quantum Galilean - Space-Time...

Ngoài ra với phân loại hình học cao cấp người ra thấy được mối liên hệ tương trùng không thể có của quantum logic và quantum PDE. 1 logic của 1 PDE là 1 Boolean algebra của tập các nghiệm của PDE này. Còn 1 quantum logic là 1 algebral của các self-adjoint operator trên 1 không gian Hilbert lồi địa phương.

Việc lượng tử hóa các PDE được hiểu như là định nghĩa 1 ánh xạ từ 1 logic của PDE vào 1 quantum logic , và được đồng hóa với 1 spectral meansure. từ đó xuất phát 1 loạt cac khái niệm mới như quantum Stockes-Theory: Lý thuyết này cho phép lấy tích phân lượng tử theo biên và mặt, hay quantum Lebes-integral là 1 mở rộng lý thuyết tích phân.

Tất cả quá trình quantized đều tuần theo 1 loại hình học cao cấp đó là noncommutative geometry ( hình học bất giao hóa) và Algebraic Topology ( Topo đại số) . Trong vật lý lượng tử, xuất phát từ bài toán biến phân ( variation) của cực tiểu hóa các phiếm hàm năng lượng được chuyển về bài toán phân loại các nhóm Bodism của PDE, và sinh ra 1 loạt các khái nhiệm như varation sequences...

Việc tìm nghiệm của phương trình quantum Yang-Mils sẽ không thể nghiên cứu 1 cách cách triệt để nếu không dùng các phương pháp Algebraic GEOMETRY, như quantum cohomology của 1 phương trình đạo hàm riêng...


Đó chính là những ứng dụng hiện tại của Hình học cao cấp đó bạn. Thực ra ứng dụng của nó còn nhiều hơn thế rất nhiều, tuy nhiên tớ không thể kể ra hết được vì trình độ của tớ có hạn. Nói chung lý thuyết trường lượng tử, Algebraic Topology và Geometry, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và Hình học vi phân, Topo vi phân, quantum logic.. Lý thuyết biểu diễn, C*- algebra, Giải tích Fourier, lý thuyết Galois,...nằm gọn trong 2 chữ noncommutative Geometry ( hình học bất giao hoán). Chính là một bước phát triển vĩ đạo trong toán học, sự phát triển hình học trong các không gian lượng tử.

[quantum-cohomology]

Không biết anh Kaka có biết về lý thuyết đối vành Galois không ? 1 công cụ cực kỳ mạnh nhằm tấn công Hopf Algebra trong Noncommutative geometry cũng như đối ngẫu Morita của đối vành trên Frobenius Manifold, 1 đối ngẫu quan trọng trong quantum Cohomology. Em đọc bài báo của anh về quantum deformation chợt nhớ ngay đến Topological Hopf Algebra.

[quantum-cohomology]

Mình mới đọc lại thấy QHHH mới nhắc đến bất biến trong hình học. Bạn chắc bạn cũng đã học qua Algebraic Topology. Mình mạn phép múa rìu trước mắt thợ như sau: Vấn đề mở rộng của các maps trong AT là câu hỏi chính. Chẳng hạn việc chỉ ra 1 homotpu có luôn tồn tại hay không thì thự sự rất là khó khăn. Tuy nhiên nếo 2 maps homotopic với nhau thì induced maps trên các nhóm (co)homology thì phải homotopic với nhau. Điều này được gọi là bất biến Homotopy. Việc nghiên cứu Homotopy bởi các nhóm (co)homology là có ý nghĩa vì các nhóm (co)homology luôn dễ dàn tính được hơn là các nhóm Homotopy.

Vì thế người ta phải cần đến bất biến. Bất biến ở đây có nghĩa là tính Homotopy không thay đổi.

Cùng với tinh thần như thế, trong hình học, chắc QHHH là người muốn học Toán có ứng dụng. 1 ứng dụng nho nhỏ của sự bất biến chính được Einstein phát biểu thành tiên đề trong lý thuyết tương đối hẹp đó alf dạng của các phương trình không thay đổi. Nếu người ta thay đổi hệ quy chiếu( Tớ lâu ngày không học vậy lý nên có thể phát biểu không chính xác)

Tính bất biến thể hiện qua tư duy triết lý của con người như sau: Nếu ở HN anh Kaka làm 1 bài toán nào đó, và ở 1 nơi khác tớ cũng ̀ đang làm làm bài toan như vậy, nếu cả 2 cùng giải đúng thì phải cùng ra 1 kết quả. Chân lý bất biến qua các phép biến đổi hình học. Thì các tính chất hình học cũng thế thôi. Hình học Euclid nghiên cứu hình học bất biến, bởi các ánh xạ trực giao. Hình học xả ảnh nghiên cứu bất biến bởi các phép ánh xạ ảnh. Hình học của Vật lý nghiên cứu bởi các bất biến ( không nhớ tên... - diffeomorphism ? ) Ví dụ như các phép biến đối Poincare....( lâu ngày không đọc Vật lý nên quên, thông cảm)

Có nhiều vấn đề sơ cấp người ta không thể giải quyết được bằng cao cấp, tuy nhiên người ta cố gắng đưa hình học sơ cấp thành cao cấp. Chẳng hạn việc ra đời của môn Algebraic Geometry. Ở đấy bạn sẽ thấy hình học sơ cấp được giải quyết 1 cách khá " triệt để ". Thực ra đòi hởi các phương pháp Hình học cao cấp ứng dụng vào Hình học sơ cấp là gần như không có ý nghĩa.

[quantum-cohomology]

Chắc QHHH học nhiều hình học sơ cấp, vậy chắc cũng biết bài toán Plateu, đến nay người ta cũng chưa giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên không thể giải quyết nó nếu không có hình học cao cấp: Hình học vi phân, mà cụ thể là bài toán biến phân của very-fold. Cái này cậu có thể tham khảo Fomenlo hoặc các công trình thời còn học ở MGU của Đào Trọng Thi. 1 ứng dụng cụ thể nữa của hình học cao cấp: Hình học đại số, đó là chứng mình vấn đề tồn tại gần 3 thế kỷ, bài toán Ferma lớn. Cái này cậu có thể đọc A.Wiles. Vậy cũng đủ nói sơ sơ lên được ý nghĩa của Hình học cao cấp ròi chứ. Còn ứng dụng trong Vật lý thì không kể xiết, 1 trong những ví dụ điển hình đó là phương trình đạo hàm riêng lượng tử ( quantum PDE) cái mà bài trước của tớ có đề cập.

1 trong những nghiên cứu bài toán cổ điển còn để ngỏ đó là Elliptic curves, cái này mà không dùng Algebraic geometry thì coi như vứt đi. Mà ngày này người ta thấy được ứng dụng của Algebraic Topology rất nhiều vào Algebraic Geometry. Ví dụ việc chứng minh định lý Riemann-Roch. Không những thế, Elliptic Curves chẳng qua chỉ là bài toán thu hẹp của 1 bài toán lớn trong hình học cao cấp đó là vấn đề Topological Modular-form. Cái này thì ứng dụng vào String-Theory, Quantum Fields Theory nhiều không hẻ hết được.

Việc phân loại hình học thì cậu QHHH không thể nói là tầm thường được. Phân loại là 1 trong những ý nghĩ triết học đầu tiên của loài người. Chẳng thế mà Vật lý phải phân thành các hạt cơ bản, hay phần các dạng của String. hóa học phải phân các nguyên tố, Sinh học phân loại các loài. Bác sĩ phân loại các bênh. Thế nên Hình học hiện đại cũng phải dựa trên tư tưởng lớn lao này. Tất cả các bài toan sơ cấp còn mở, không sớm thì muộn cũng sẽ được xếp vào 1 loại nào đó trong hình học cao cấp; điều này không thể phủ nhận được. nếu giải quyết được hình học cap cấp thì người ta hy vọng giải quyết được sơ cấp, ví dụ như A.Wiles với định lý Ferma.

Việc Euler tìm ra quy luật character co diện cho các polygon thực chất nằm gọn trong lý thuyết Characteristic Classes của Algebraic Topology. Mặc dù phải công nhận Euler là người đi tiên phong, tuy nhiên càng về sau thì các bài toán sơ cấp còn tồn tại, thì loài người cũng giải quyết dần dần mà.

Tớ không biết tiếng Việt bài toán Cầu phương là gì, bạn có thể dụng tiếng Anh nói cho mình được không. Mình sẽ chri ngay cho bạn bài toán này có thể phát triển trong lãnh vực nào của Hình học cao cấp. Mình thì không giỏi giải toán, nhưng tra cứu tài liệu thì rất gioit, muốn tìm cái gì cũng tra được hết.

[QHHH]

Rất cám ơn ý kiến của các cậu!!!.Đúng là tớ có vội vàng khi nói rằng việc phân loại hình học la bình thường,tớ xin rút lại ý kiến đó.
Bài viết lần này tớ muốn làm sáng tỏ 1 chút về hình học cổ điển.
Nhìn qua lại lịch sử 1 chút thì hình học ra đời trên cơ sở thực tế trong việc đo đạc ,vẽ,kiến trúc v.v...Rõ ràng rằng trước khi có quyển''Nguyên lý'' nổi tiếng của Euclid thì người ta đã biết về hình bằng nhau,cộng đoạn thẳng,đo diện tích và nói chung là các khái niệm sơ cấp thông thường.Trên cơ sở các hiểu biết đó thì Euclid đã cho ra đời hệ tiên đề của mình, như vậy rõ ràng rằng hệ tiên đề Euclid xuất phát từ thực tế chứ ông ta không thể tự nghĩ ra...Và ở đây có thể hiểu rằng hệ tiên đề của Euclid ra đời nhằm mục đích khái quát,cm các đ/l hình học đã biết thời đó.Sau đó thì có thể nói rằng tác phẩm ''Nguyên lý'' là suất sắc nhất trong hình học các tác phẩm khác chỉ là sự sao chép bổ sung chút ít.Nhưng người ta sớm nhân thấy hệ tiên đề của Euclid là không hoàn thiện và trên nền tảng của Euclid thì David Hilbert công bố tác phẩm xuất sắc ''Cơ sở Hình học'' đưa hình học bước sang thời kỳ mới.Hệ tiên đề của Hilbert có nhiều ưu việt hơn là bổ sung nhiều thiếu sót của Euclid và hơn nữa trong hệ tiên đề của Hilbert tất cảc các đ/l hình học đã được chứng minh = suy diễn lôgic chặt chẽ thoát li khỏi thực tại(hình vẽ) do đó mà đã ra đời các mô hình của hình học (tức là trong đó các đối tương cơ bản muốn hiểu sao cũng được miễn nó phải nghiệm đúng tất cảc các tiên đề).Tính chất đó có thể nói là cách mạng cho hình học!!!.Nhưng thực chất là hệ tiên đề của Euclid thì bắt nguồn từ hiện thực còn của Hilbert thì từ Euclid do đó không thể phủ nhận cái nguồn gốc thực tế của hệ tiên đề Hilbert.Từ đó thì người ta lao vào nghiên cứu hình học trong lĩnh vực tiên đề mà ít quan tâm xem các tiên đề đó dùng mục đích gì.Nếu như nhìn lại lịch sử thì mục đích các hệ tiên đề là hoàn thiện các đ/l thực tế.
Tuy nhiên sau này khi toán học trở thành khái quát hóa thì người ta lại ít quan tâm đến mục đích này mà người ta chỉ coi nhiệm vụ của hình học là nghiên cứu các tiên đề.Liệu rằng điều đó có đúng không??.Và nếu vậy thì rõ ràng hình học đã xa rời mục tiêu ban đầu của nó.Tất nhiên tớ nói tất cả điều này chỉ là trong lĩnh vực hình học cổ điển nhưng nó cũng ít nhiều liên quan tới các vấn đề mình suy nghĩ ở trên
Tớ rất mong các cậu cho ý kiến.!!!!

[quantum-cohomology]

Theo tớ thì hình học không phải là môn "chuyên" nghiên cứu các tiên đề, thực ra tại sao người ta đi được đến các tiên đề đấy mới là vấn đề chính. Hình học cổ điển phải trải qua rất nhiều quan sát. Hình học hiện đại thì phải trải qua nhiều quá trình tìm tòi sáng tạo. Bất luận là thế nào, thời nay chúng ta đều đứng trên vai ngưòi khổng lồ. Những người làm trau truốt và đẹp đẽ toán học bằng cách tiên đề hóa cũng tốt thôi, nhưng họ không thể so sánh được bắng những con người đi xây dựng toán học. Sở dĩ tiên đề có thể khái quát hóa là nhờ quá trình xây dựng (constructive), chứ nếu kô chỉ ngồi suy nghĩ abstract thuần túy tớ không tin là có ai đó có thể sáng tạo ra được cái gì mới mẻ. Học toán từ tiên đề bao giờ cũng dễ, nhưng sáng tạo toán học nếu nói là bắt nguồn từ tiên đề thì gần như là không thể được. Bao giờ cũng mày mò, tính toán là công việc đầu tiên, rồi những người đi sau mới dần dần tiên đề hóa.

Ngay trong hình học hiện đại, khi đưa ra 1 hệ tiên đề nào mới mẻ các nhà toán học bao giờ cũng phải trải qua 1 quá trình mày mò tính toán. Tính toán bao giờ cũng dễ hơn là phát biểu trừu tượng.

Theo quan điểm của tớ, quả thực hình học đã xa rời khỏi cái mục tiêu ban đầu của nó ( là đo đạc, chia đất đai) , nhưng hình học là cái thể hiện nét đẹp tu duy toán học. Trong mọi thời đại thì cuối cùng hình học luôn thể hiện được cái chân lý 1 cách sáng tỏ , trong sáng và lành mạnh nhất.

Quan điểm của nhiều nhà toán học là: Anh không thể làm toán, nếu dưới chân anh không có nền móng vững chắc.

Hình học Euclid tuy thô sơ, hệ tiên đề đơn giản, và là môn hình học đầu tiên ra đời , nhưng mô hình toán học của nó quả là thiếu chặt chẽ. Nhưng phải công nhận là khi sáng tạo toán học, bản thân các nhà toán học không bao giờ làm chặt chẽ ngay từ đầu, mà dần dần họ mới hoàn thiện bổ sung thêm.

Hình học cổ điển bắt nguồn từ hiện thực như QHHH nói là chính xác. Thế nên các môn hình học khác không ít thì nhiều cũng sẽ có 1 tính thực tế nào đó.
Tớ không phủ nhận vai trò của tiên đề, nhưng đối với bản thân tớ, nó không quan trọng gì lắm. Cái mà tớ cho là quan trọng trong Hình học, cũng như nhiều bộ môn khác của Toán học, đó là tính xây dựng. Cách thức xây dựng 1 môn hình học mới đáng làm ta quan tâm, rồi khi hiểu nó, ta cũng sẽ tự phát biểu được các tiên đề.
Nếu chỉ nghiên cúu các tiên đề không thì toán học đã không phát triển 1 cách rực rỡ như ngày nay.

Mọi chắc biết trong toán có nhiều trường phái ví dụ như truờng phái hình thức, trường phái tiên đề, trường phái xây dựng.
Trong 3 cái trên thì tớ cho rằng xây dựng là quan trọng nhất. 2 cái còn lại tất nhiên cũng rất quan trọng, nó thể hiện khả năng tu duy trừu tượng của con người, nhưng cái xây dựng quan trọng ở chỗ nó là tính sáng tạo trong toán học.

[QHHH]

Cậu có nhắc đến các trường phái trong toán học.Vậy cậu có thể nói rõ hơn cho mình về ìtrường phái XD”mà cậu cho là quan trong nhất không.Còn tớ thì tớ mới chỉ biết đến phương pháp tiên đề trong XD hình học.Còn về bài toán ''cầu phương'' đường tròn tớ cũng chưa biết tiếng Anh ND là gì xong có thể hiểu nó là’’ dựng một hình vuông có diện tích bằng 1 hình tròn’’.

Bây giờ tớ muốn bàn thêm với các cậu về hình cao cấp.Như ta đã biết cách thức đi vào hình học như của Eculid và Hilbert là 1 cách. Cách này là cách của hình cổ điển.Và người ta cũng đã thấy được 3 nhược điểm lớn của nó là :
+Khó có thể làm nổi bật rõ cấu trúc toán học,các tư tưởng của toán hiện đại.
+Sẽ gặp khó khăn khi XD không gian nhiều chiều.
+XD không dựa trên cơ sở lý thuyết tập hợp gây khó khăn cho nghiên cứu.

Để khắc phục triệt để ba khó khăn này ngưởi ta đã Xd hình học dựa vào ĐS
Hay chính xác hơn là dựa vào cấu trúc ĐS không gian vector.XD hình học như thế được xem là cách ưu việt nhất để đi vào hình học.Tuy nhiên đây cũng nằm trong ND của phương pháp tiên đề và người phát minh ra là H. Weyl .Một số ưu việt của hệ tiên đề này là:
+Khắc phụ được cả 3 khó khăn của hê tiên đề Hilbert .
+Ngoài ra việc nghiên cứu hình học dựa trên ĐS giúp ta có thêm công cụ mới để khám phá hình học
+Trong không gian Vector việc nghiên cứu toán tử tuyến tính giúp ta đưa đến đ/n chính xác của hình học theo Clai.

Tuy nhiên cái mình muốn đề cập ở đây là sự đẳng cấu của hai hệ tiên đề.
Từ hệ tiên đề của H. Weyl => hệ tiên đè của Hilbert thì dễ xong điều ngược lại thì khó ,bản chất vấn đề này liên quan đến các đs các vector tự do trong hình học sơ cấp. Đến đây mình muốn nói lại lần trước mình có nói rằng:’’hình học cao cấp nếu chỉ dừng lại ở phân loại thì rất bình thường’’ bởi mình chưa thấy được mục đích của phân loại và hơn nữa ngoài dùng để phân loại hình học ra thì hình học cao cấp còn dùng để làm gì nữa….Nhưng từ những suy nghĩ ở trên
thì mình có thể nhìn lại t/c hiện thực(ứng dụng) của hình cao cấp mình nghĩ đó cũng là 1’’ứng dụng’’ Theo các cậu thì điều đó có đúng không????

[quantum-cohomology]

Ca^u co´ the giai thich´ ro rang` hon duoc kho^ng? To´ chua hie^u y´ ca^u muo^n´ noi´ gi`.

[Kakalotta]

Mình nói thật cũng chả hiểu ý cậu ấy nói cái gì nên không thể post bài trả lời được.

[QHHH]

Ý mình là thế này:lần trước mình có nói đến nguồn gốc ''thực tế'' của hệ tiên đề Hilbert-Euclid,liệu rằng dùng hệ tiên đề điểm-vector =>hệ tiên đề của Hilbert có phải là 1ứng dụng.
Mình còn rất muốn biết thêm về trường phái XD của quantum-cohomology
đã nói.

[Doraemon]

Mình nghĩ là việc chứng minh như QHHH đã nói là 1 ứng dụng của hệ tiên đề Weyl. Còn từ hệ tiên đề của Hilbert suy ngược lại mình nghĩ là tương đương thôi, chẳng qua đó là 1 chứng minh khó (ý kiến riêng ).
Nhưng cái quan trọng trong toán, mình nghĩ là không cứ phải đi chứng minh điều đó. Bởi vì như cái mỹ cảm của trường phái Hilbert thì hệ tiên đề Hilbert chỉ chẳng qua là để ... học, học cái sự mẫu mực của toán học; học sự chặt chẽ của toán học để có thể thấy được cái nền tảng đó.
Mình đồng ý như Đăng Thi nói, không bao giờ có thể sáng tạo một cái gì đó mà chỉ ngồi trên các tiên đề. Bởi vì các tiên đề chỉ cho thấy một sự khởi đầu của nhận thức về đối tượng hình học mà ta đang nói tới. Còn để sáng tạo được thì chúng ta phải mày mò, phát triển, tìm sự liên quan,; sau một hồi suy luận , vai trò của các tiên đề cũng sẽ lu mờ đi, chúng biến thành những khẳng định trực giác mà trong tư duy, chúng ta chỉ lướt qua chứ chưa chắc đã ý thức về sự tồn tại của nó.
Còn vấn đề về hình học Lobasepski thì theo như quan điểm của Sylvester về đại số mình cũng xin mạo muội nói tương tự:
"Nên gọi nó là hình học trừu tượng vì cuối cùng nó sẽ sống mãi và trở thành hình học cổ điển".
Chúc cả diễn đàn ăn Tết vui vẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 14-02-2005 - 18:52

[Kakalotta]

Phải nói là nên gọi nó là hình học trừu tượng chứ không phải là hnhf học hiện đại vì nó sẽ sống mãi và sẽ trở thành cổ điển.

[Doraemon]

Cùng với tác phẩm hình học nổi tiếng của Hilbert thì song song với nó là chương trình phân loại hình học nổi tiếng Erlangen của Felix Klein. Từ đó bắt đầu coi hình học tương ứng là 1 nhóm biến đổi của nó vd hình học Euclide là nhóm trực giao chẳng hạn. Từ đó, cùng với sự phát triển của hình học vi phân cuối tk XIX đầu XX mà hình học đã không còn đứng đơn lẻ nữa mà đã trở thành công cụ và đối tượng nghiên cứu được kết hợp với nhiều lĩnh vực khác như đại số, giải tích và ứng dụng vào thật nhiều lính vực cả lý thuyết số, phương trình vi phân đạo hàm riêng,...
Thế nên cũng không có gì lạ khi cụ Atiyah (vừa nhận giải Abel) coi TOÁN HỌC LÀ HÌNH HỌC.
Về nghiên cứu nhóm biến đổi, không xa lạ gì , ngày nay nó chính là đại số Lie, về phần này không thể múa rìu qua mắt thợ được.

Xin mời anh Kaka cho ý kiến, đó là lĩnh vực nghiên cứu của anh ấy thì phải, lý thuyết biểu diễn mà !

[QHHH]

Chúc mừng năm mới tất cả các bạn trong diễn đàn!!!
Việc nhận được ý kiến của các cậu làm tớ cũng phần nào sáng tỏ,tớ rất cám ơn.
Tớ rất muốn trao đổi tiếp với các cậu!!!
Theo tớ nghĩ trong toán học nói chung thì đối tượng nghiên cứu vá công cụ nghiên cứu toán thật ra không rõ ràng.
Lấy 1 VD rằng đối tương nghiên cứu của hình giải tích là các pt đường,mặt v.v...,các pt đường và mặt có thể xem như công cụ để giải toán hình học khác.
Ta biết rằng trong hình học cao cấp ,mỗi loại hình học có đặc trưng của 1 phép biến đổi(vd hình afin là phép biến afin, hình Euclid là phép biến đẳng cự,hình xạ ảnh là phép biến xạ ảnh v.v...)vậy theo các cậu vai trò của các phép biến đổi này trong hình học là đối tượng nghiên cứu hay công cụ nghiên cứu???? cậu thử cho mình VD được không??

[Kakalotta]

Thực ra thì công cụ nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu có gì khác nhau đâu. Đối tượng nghiên cứu là một đối tượng mà ta chưa hiểu rõ và muốn hiểu về nó, còn công cụ nghiên cứu thì chẳng qua là cái ta đã hiểu được một phần về nó và áp dụng để làm sáng tỏ cái khác. Do đó,một đối tuợng nghiên cứu theo thời gian sẽ trở thành công cụ nghiên cứu, Mà nói chung thì có bao giờ toán học có được sự phân chia rách ròi ra đâu.
Ví dụ như cậu nói đường và mặt là các đối tượng, còn các phương trình là các công cụ. Tuy nhiên,dân đại số giao hoán lại coi các phương trình này là đối tượng nghie cứu. Nói chung phụ thuộc vào bản chất của bài toán mình theo đuổi.