Motivation: Shimura Varieties là 1 phần quan trọng trong 1 lãnh vực rộng complex Abelian varieties của hình học đại số. Nó nghiên cứu Moduli spaces của abelian varieties với các Endomorphism Structure. Điều làm tôi kinh ngạc trong lãnh vực này đó là sự giao thoa giữa hình học đại số và vật lý lý thuyết. 1 bên là Jacobian varieties, Moduli, Abelian Varietes trong hình học đại số, còn 1 bên là Heisenberg Groups, Schrödinger representation của cơ học lượng tử. Có thể nói motivation thực sự được khởi nguồn từ các nhà toán học thế kỷ thứ 19 với các tên tuổi như Niels Henrik Abel ( Norwegian ) và Carl Gustav Jacob Jacobi ( German ). Thời đó các nhà toán học quan tâm tới 1 số lãnh vực của cơ học và vật lý ví dụ như cơ học thiên thể, bài toán Kepler và đi tới 1 trong những tích phân quan trọng đó là tích phân hyperelliptic. Nó có dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma là 1 đường cong trong mặt phẳng phức và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{f} vậy thì C sẽ là 1 double covering của mặt cầu Riemann http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{P}_1. Điều này có nghĩa là covering map http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\infty nếu d là lẻ. Bây giờ người ta có thể xem http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega như là 1 holomorphic differential form trên C, tức là được định nghĩa ( well-defined ). Bài toán được rút về việc nghiên cứu các tính chất topological của C. Nếu các tính chất này càng phức tạp thì việc lấy tích phân http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega sẽ càng khó. Xin chú thích thêm ý tưởng này xuất phát ban đầu từ Riemann, nó xuất hiện đầu tiên trong Dissertation của Riemann ở Göttingen với tiêu đề "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe" , tạm dịch: Kiến thức cơ bản về 1 lý thuyết tổng quát của các hàm phức 1 biến. Sau này Dieudoné có viết: "L'on voit Riemann, prèsque systématiquement, penser à côté (suitvant l'expression de Hadamard ), abordant chaque problème d'une facon à laquelle aucun de ses prédésseurs n'avait songé ". Nói chung thời gian đó ít người có thể hiểu được ý tưởng của Riemann, thậm chí Gauss nói rằng, "der größte Teil der Leser möchte wohl in einigen Teilen noch eine größere Durchsichtigkeit der Anordnung wünschen".
Thực ra Riemann chỉ có ý tưởng và cố gắng thực hiện nó, nhưng ông ta không đưa ra 1 lời giải thích nào trong Dissertation của ông về sự hữu ích của việc nghiên cứu lý thuyết hàm trên các diện Riemann.
Vào khoảng đầu thế kỷ 19 Abel và Jacobi đã tìm được cách tấn công bài toán tích phân hyperelliptic. Ý tưởng chính của nó là: Không chỉ lấy tích phân mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega mà lấy tích phân cả 1 hệ các holomorphic differential http://dientuvietnam...imetex.cgi?p_0. Thật không may mắn là ánh xạ này không thể mở rộng trên toàn C, tức là global không well-defined bởi vì tích phân phụ thuộc vào dạng của đường cong nối giữa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p_0 và p. Tuy nhiên nếu ta lấy modulo giá trị của tích phân dọc theo các đường cong kín thì ta sẽ nhận được 1 well-defined map ( cũng xin lưu ý, đây là ý tưởng chung của toán học: modulo tất cả những gì không được định nghĩa ).
Nói 1 cách topological thì người ta xét nhóm Homology
Bài toán bây giờ được đưa về đó là xác định đa tạp Jacobi và mô tả ánh xạ Abel-Jacobi. ( Lưu ý, trong hình học phức đôi khi người ta cũng gọi ánh xạ này là Albanese map và đa tạp Jacobi được gọi là Albanese Torus ). Tất nhiên thời đó Abel và Jacobi không thể trình bày bằng ngôn ngữ hình học đại số hay hình học phức như ở trên, họ là những nhà giải tích, do đó họ làm việc với các Abelian Fuctions hay chính xác hơn là Abelian Integrals. Sau đó Riemann cũng bổ xung thêm 1 vài vấn đề, thời kỳ này bắt đầu xuất hiện Theta functions, 1 đối tượng quan trọng sau này trong hình học đại số như Theta divisors, Theta structures, Theta groups và liên kết rất chặt chẽ với Vật lý lý thuyết là Heisenberg groups và Schrödinger representation. Jacobi varieties theo ngôn ngữ hiện đại thuộc về 1 đối tượng rộng lớn hơn đó là Abelian varieties mà trong đó cũng có cả Shimura varieties. Có thể nói tiên phong trong Abelian varieties phải kể đến trường phái toán học Italian: Scorza, Rosati và tổng quát hơn thì có Lefschetz, người có công phát triển (1,1)-classes trong Hodge theory mà tôi đã có lần giới thiệu trong topic Hodge conjecture.
Nói về mặt ứng dụng của Abelian Varieties trong Number theory, Galois Representation thì không kể xiết, các câu hỏi rational và transcendence chẳng hạn, và thật đáng là kinh ngạc khi transcendence methode lại có tương tác rất mạnh với mảng Quantum Gravity bên vật lý ( Khi nào tôi hiểu đôi chút về phần này sẽ post lên diễn đàn để thảo luận ). Ngoài ra người ta cũng tìm thấy ứng dụng của Abelian Varieties trong các lãnh vực như dynamical systems, Hamilton systems. Có thể kể đến các đối tượng toán học như : Picard Varieties, Albanese Varieties, Jacobi Varieties, Shimura Varieties. Còn rất nhiều vấn đề mở và thú vị xung quanh câu chuyện Abelian Varieties như compactifications of moduli spaces, Schottky problems, Jacobians và relation with Hodge theory. Hiện nay ở Đức người ta cũng tập trung phát triển các hướng của hình học phức này, ví dụ có nhiều chương trình Deutsche Forschungs Gemeinschaft via dem Schwerpunkt "Komplex Mannigfaltigkeiten". hoặc Schwerpunkt trong "Global Methode in komplexer Geometrie". Tại thời điểm này Vietnam có anh Phùng Hồ Hải cũng đang tham gia đề tài này tại trường đại học Essen-Duisburg.
( Kỳ sau tôi sẽ đi vào chi tiết việc thảo luận Abelian Varieties, Moduli và Shimura Varieties ).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 12-03-2006 - 12:41
