Chủ đề này có 3 trả lời

[Kakalotta]

Hôm nay đẹp trời, nấu được một nồi canh rau cải với gừng rất ngon, ăn năm bát cơm nên rất hứng chí, giới thiệu cho mọi người một chiêu thức mới, đó là hình học suy rộng.
Motivation:
Mục tiêu chính của hình học suy rộng (Generalized Geometry, viết tắt GG) là nhằm mục tiêu thống nhất hai lý thuyết lớn trong toán học là hình học symplectic và hình học (hầu) phức. Đối xứng guơng là một hàm tử đưa các lý thuyết A-models (trường lượng tử xoán với đa tạp toric, hình học symplectic) sang bên B-model (trường lượng tử xoắn trên đa tạp phức,(Mô hình Landau-Gizbug)). Đối đồng điều lượng tử cũng được Gang Tian dịnh nghĩa cho phạm trù symplectic và phạm trù complex Variety, như là các biến dạng của đại số đối đồng điều. Do đó, nên có một lý thuyết thống nhất chung hai loại hình học này, và chắc chắn hình học này sẽ giúp hiểu thêm về đối xứng guơng.
GG được định nghĩa lần đầu bới Gualtieri, một học trò của Hittchin, trong luận án tại Oxford năm 2003 và đang được nghiên cứu rất mạnh ở Oxford, Stanford và Berkeley... Xem DG/0401221


Ý tưởng khởi thủy của nó đặc biệt sơ cấp và tầm thường. Một ánh xạ tuyến tính từ R-->R tạo nên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nhưng một đuờng thẳng đi qua gốc tọa độ lại không nhất thiết ứng với một ánh xạ tuyến tính, ví dụ trục tung thì ứng với ánh xạ tuyến tính với hệ số góc tiến tới vô hạn. Vì vậy một không gian con một chiều có thể coi như là một ánh xạ tuyến tính suy rộng.

Ý tưởng ở đây là thay vì nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính, ta nhìn vào các không gian con Largrange (tức là không gian triệt tiêu bởi một dạng song tuyến tính, có số chiều bằng mọt nửa của không gian). Cụ thể hơn, trên V+V*, tồn tại một dạng song tuyến tính chính tắc.

Một cấu trúc symplectic trên một đa tạp 2n chiều là một dạng vi phân đóng không suy biến. Nói cách khác, trên phân thớ tiếp xúc của M, tồn tại một toán tử A:TM--->TM*. A*=-A

Mặt khác, một cấu trúc hầu phức trên một đa tạp 2n chiều thực hoàn toàn tương đuơng với phép nhân với i, hay nói cách khác một phép quay 90 độ- một toán tử tuyến tính B:TM-->TM sao cho B^2=-I.


Được khích lệ bởi ý tuởng trên, người ta kết hợp hai lý thuyết này lại bằng việc thay vì định nghĩa trực tiếp các toán tử I,J, người ta xét một cấu trúc hầu phức trên phân thớ TM+T*M. Lý thuyết này chứa hình học phức và hình học symplectic như là hai truờng hợp rất đặc biệt.
(-B 0)
(0 B) như trong truờng hợp phức, hay

(0 -A^{-1})
(A 0 )

Hiện nay, đây là một lý thuyết rất mới, có rất nhiều thứ để làm. Ví dụ, ngừoi ta đã xây dựng được định lý Darbour cho đa tạp suy rộng. Người ta cũng định nghĩa được hình học Kahler suy rộng như là sự kết hợp của hai cấu trúc suy rộng giao hoán với nhau.
Mô hình sigma topo của Witten, vốn được định nghĩa cho đa tạp Rieman, sau đó đưa sang đa tạp phức và symplectic để tạo ra các lý thuyết truờng lượng tử, thì nay mới được suy rộng cho đa tạp suy rộng.
Khi nào rỗi/ có ai quan tâm thì viết tiếp.

[Anh Co]

Theo tôi hiểu thì Hitchin đưa ra GG để nghiên cứu B-field trong vật lý. Để thuyết phục được mọi người về sự hữu ích của GG xin bác Kaka cho biết:
Cho đến nay GG có nói được gì mới, hay giải thích được một hiện tượng nào trong mirror symmetry hay Top. M-Theory ?
GG có giúp để giải quyết một bài toán cũ nào trong Symplectic hay Complex Geometry không ?( không tính đến những định lý kiểu generalized mà bác kể trong bài !)
Nếu không trả lời được thì cũng không thuyết phục được tôi lắm mặc dù bác ở Berkeley thì chắc phải biết nhiều thông tin hơn kẻ ở chốn thâm sơn cùng cốc này

[Kakalotta]

Như đã nói thì hiện nay nó còn đang rất rất mới, khoảng 1-2 tuổi và mới bắt đầu có khoảng chừng chục bài báo về cái này, nên chưa nhiều, và hoàn toàn là mở. Tuy nhiên rất nhiều nhà toán học nổi tiếng đang dự đoán về sự nổi lên của lý thuyết này. Còn về ứng dụng cho vật lý thì như đã nói, Ngay sau khi xuất hiện được một năm,người ta dã dùng nó để suy rộng của mô hình sigma topo witten cho đa tạp phức suy rộng và dẫn tới một loạt các lý thuyết truờng lượng tử mà thống nhất cả cách tiếp cận của Baulieu (cái mà trùng với cách tiếp cận của Witten trong truờng hợp B-field, B ở đây là Baulieu). (nhớ không nhầm thì mới cách đây một năm thì phải, tìm trên Arxiv). Ngay cả các truờng lượng tử ứng với nó người ta cũng chưa hiểu biết được đầy đủ, nên chắc là ngay lập tức chưa lôi được sang lý thuyết dây và đối xứng gương đâu, ít nhất là trong một vài năm nữa. (Bởi lý thuyết dây là lý thuyết trường lượng tử với đa tạp mục tiêu Calabi-Yau, đa tạp nền \Sigma mà ta sẽ xây dựng cấu trúc phức suy rộng trên này). Trong luận án đó thì nguời ta cũng đã xây dựng được khái niệm đa tạp con phức suy rộng, và dự đoán nó sẽ dẫn đến D-branches suy rộng trong lý thuyết dây, nhưng vẫn chưa có ai làm. Các công cụ khổng lồ bên hình học symplectic và hình học phức như là đối đồng điều lượng tử, không gian moduli các đường cong nửa ổn định, bất biến witten... vẫn chưa được suy rộng cho cái trò này.
Về giải được bài toán nào cụ thể, thì ví dụ định lý về tọa độ darxbour địa phương trong hình học symplectic được suy rộng trong hình học suy rộng. Cái quan trọng nhất của nó là cung cấp cái nhìn thống nhất giữa các lý thuyết khác nhau.

Còn nếu muốn có ứng dụng thì tự mà làm mà đăng bài nhé. tôi chỉ đề xuất huớng nghiên cứu mới cho mọi người để mọi nguời làm, còn làm gì thì tùy mọi ngừoi. Cái mà còn mù mờ mới dễ đăng bài, còn cái mà ai cũng biết cả thì sẽ nhanh chóng trở thành cổ điển, nhất là trong những lãnh vực mà phát triển rất nhanh trong những năm gần đây như là lý thuyết dây. Rất nhiều nhà hình học symplectic đang phát sốt lên vì cái trò này. ở VN những người làm hình học phức có thể sẽ quan tâm.

Tôi đề nghị đừng mang cái mác Berkeley của tôi ra nhé, tôi không thích chèn ép nguời khác kiểu đó, và nói chung thích thảo luận thoải mái với mọi người thì thích hơn. Chả nhẽ lại phải đăng kí một cái ních khác hay sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 10-04-2006 - 07:10

[Polytopie]

Ừ, Kaka giới thiệu cái này cho anh em là tốt rồi, mình đi tìm paper bản tiếng Anh để đọc xem sao vậy vì mình chả hiểu các thuật ngữ toán trong tiếng Việt.