Chủ đề này có 17 trả lời

[math_phd2010]

Buồn buồn, lấy quyển Differential Topology Của Guillemin/Pollack ra ôn lại, chuẩn bị cho kì thi Qualifying Exam. vào mùa thu tới. Math xin post vài bài cơ bản.

Bài 5, trang 6: Show that every k-dimensional vector subspace V of http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^n is a manifold diffeomorphic to http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^k, and that all linear maps on V are smooth. If http://dientuvietnam...ex.cgi?f^{-1}(y) is a finite set http://dientuvietnam...ex.cgi?f_{-1}(U) is a disjoint union http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_i is an open neighborhood of http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i and f maps each http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_i diffeomorphically onto U.

P/S of Doraemon: Mạn phép edit ký hiệu tex của bác. Bác hãy nháy vào thẻ tex bên trên thay vì đánh dấu $ nhé. Hãy làm như thế với các bài post sau, dù sao có tex thì nhìn mọi người vẫn thích đọc hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 17-04-2006 - 13:20

[math_phd2010]

Exercise 11 / page 27:
(a) The http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?SL\left(n\right). Prove that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?SL\left(n\right) is a submanifold of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M\left(n\right) and thus is a Lie group.
(b) Check that the tangent space to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?SL\left(n\right) at the identity matrix consists of all matrices with trace equal to zero.

Exercise 4 / page 32:
Let http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X and http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Z be tranversal submanifolds of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?Y. Prove that if http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X\stackrel{f}{\rightarrow}Y\stackrel{g}{\rightarrow}Z be a sequence of smooth maps of manifolds, and assume that http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?g is tranversal to a submanifold http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?W of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z. Show that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f is tranversal to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g^{-1}\left(W\right) if and only if http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W.

Exercise 10 / page 33:
Let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x; that is, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=x. If http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?+1 is not an eigenvalue of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x is called a Lefschetz fixed point of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f is called a Lefschetz map if all its fixed points are Lefschetz. Prove that if http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X is compact and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f is Lefschetz, the http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f has only finitely many fixed points.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_phd2010: 28-04-2006 - 04:18

[quantum-cohomology]

Bài 2 trang 18 dùng Implicite function theorem, bài 2 trang 25 cả 2 phần a và b dùng định nghĩa submersion là xong. Bài 14 trang 7 dùng định nghĩa topology product.
Bài 11 trang 27 chỉ việc dao động các ma trận, bài 4 trang 32 chỉ việc sử dụng tranversality.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 17-04-2006 - 13:35

[tranminhlong]

Bài 7 trang 26 và bài 10 trang 33: (Dùng chung ý) Với mỗi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là regular point ứng với http://dientuvietnam...etex.cgi?y(hoặc mỗi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x là Lefschetz fixed point), tồn tại một lân cận http://dientuvietnam...mimetex.cgi?V_x của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x, trong đó không có regular point nào khác (không có Lefschetz fixed point nào khác).
Nhận xét: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?xsẽ không nằm trong http://dientuvietnam....cgi?V_{x'} nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X compact nên dùng một mánh nhỏ để kiếm một phủ mở hữu hạn của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X, trong đó là một tập con của phủ mở này. Do đó, là hữu hạn.

[math_phd2010]

1. Prove that every compact k-manifold has an immersion into http://dientuvietnam...etex.cgi?R^{2k} that is an embedding except at finitely many point.

2.
(i) Show that the cartesian product http://dientuvietnam...tex.cgi?R^{n 1}

3.
(i) Let http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^p which cuts http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M^n tranversely.
(ii)Let http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M^n be a compact manifold and http://dientuvietnam...metex.cgi?f(M^n) does not contain the origin. Prove that there exists a line through the origin which meets http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M^n in only a finite number of points.

4. Let K and J be two distinct submanifolds of http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3, each diffeomorphic to http://dientuvietnam...imetex.cgi?S^1. Assume that K and J are oriented. Consider the linking map http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda\left(x,y\right)=\left(x-y\right)/\left\|x-y\right\| where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^2 is also oriented. Define the linking number http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l\left(K,J\right) of K and J to be the degree of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda. Prove that: . Moreover, show that if there are smooth homotopies and so that the for each then

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math_phd2010: 28-04-2006 - 04:20

[d6m6d6]

Buồn buồn, lấy quyển Differential Topology Của Guillemin/Pollack ra ôn lại, chuẩn bị cho kì thi Qualifying Exam. vào mùa thu tới. Math xin post vài bài cơ bản.

Bác có bản e quyển này thì up lên giùm em cái.

[mathman145]

À hóa ra trên giga có rồi:
Download

[mathman145]

Xin hỏi topo vi phân khác với hình học vi phân ở chỗ nào?

[mfaotch]

Xin hỏi topo vi phân khác với hình học vi phân ở chỗ nào?

Khác nhau ở "tô pô" và "hình học"

[mathman145]

Khác nhau ở "tô pô" và "hình học"

"tô pô" là gì? "Hình học " là gì? Khác nhau như thế nào? ==> "topo vi phân" và "hình học vi phân" khác nhau như thế nào?

[toilachinhtoi]

Có thể hiểu một cách thô thiển như sau (không chính xác):

Topo vi phân: nghiên cứ những vấn đề như định lỳ Sard, định lý hàm ẩn, hàm phụ...

Hình học vi phân: nghiên cứu về metric, độ cong...

[Alexi Laiho]

Topo và Hình học khác nhau xa, mặc dù cũng khá gần nhau. Về hình ảnh thì Topo là nghiên cứu cái gì đó mềm mềm, bóp được, biến dạng liên tục được ----> đồng phôi+vi phôi+đồng luân. Còn hình học thì đối tượng lại khá cụ thể, đường cong, mặt...----> điểm + trường hàm+...., tất nhiên thì trong hình học họ vẫn dùng Topo nhiều. 1 điều hiển nhiên là Topo chỉ dùng Topo chuẩn, còn hình học họ dùng rất nhiều loại Topo khác nhau.

Còn Topo vi phân và Hình học vi phân chắc là nhiều giải tích thực, cái này thì chịu không rõ lắm.

[Kakalotta]

Topo vi phân: nghiên cứu topo bằng các công cụ xuất phát từ hình học vi phân. Ví dụ: Derham cohomology có thể coi là topo của đa tạp, nhưng yielded từ dif form, cái đến từ hình học vi phân.

[mathman145]

Hình học vi phân là nghiên cứu các đối tượng hình học kết hợp với công cụ trong giải tích, ví dụ nghiên cứu độ cong của các đường mặt cần đến vi phân, nghiên cứu tính bảo giác, đẳng cự, đẳng diện của một vi phôi giữa 2 mặt cần đến các dạng cơ bản có trong giải tích cổ điển, rồi thì định lý Gauss-Bonnes cũng phải dùng đến tích phân mặt, tương tự khi nghiên cứu các mặt Riemann,...Nói chung chỗ nào cũng thấy dùng giải tích vào.
Còn Topo vi phân thì "đoán" là nghiên cứu các tính chất của topo nhưng có dùng các công cụ giải tích trong đó.

[Kakalotta]

Đọc xong cái bình luận kia thì chán hết cả người. Thôi để mọi người tán láo với nhau nhé.

[Alexi Laiho]

De Rham Cohomology xuất phát từ differential forms thật, tuy nhiên có 1 viewpoint khác hoặc xem nó như sheaf cohomology. Hoặc by using De Rham isomorphism thì H_deR \cong H_sing. Tất nhiên là ở đây nói tới 1 geometric object nào đó đủ tốt. Trong HHDS thì De Rham cohomology xuất phát đơn giản từ phép giải của bó vi phân Kahler.

But i still do not understand là topo vi phân dùng De Rham Cohomology để làm gì nhỉ? Tất nhiên để nghiên cứu topological properties của manifolds thì algebraic topology cũng làm. Sorry for my stupid question. Bởi vì hồi xưa học cái Differential Top này người dậy lại làm chuyên ngành là alg Top nên chả hiểu mấy Diff Top thế nào.

[Kakalotta]

Thì đó là một bằng chứng của việc areas of Mathematics overlap.

[mathman145]

Chỉ là mô tả khẳng định của mfaotch, dùng những cái elementary đã biết để minh họa, mà cũng thấy đúng đúng, chứ đâu có tham vọng nói đến cái Rham cohomology đâu cơ chứ.