J. P. Serre (sinh ngày 15/9/1926, Pháp) được trao giải Abel do đã có ìnhững thành tựu quan trọng tạo nền tảng cho các lý thuyết hiện đại của nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, trong đó có Topo, Lý thuyết số và Hình học đại số”. Ông là người đã đoạt nhiều giải thưởng quan trọng trong giới Toán học, trong đó có giải Field năm 1954 (khi ông mới 28 tuổi), giải Wolf năm 2000, và giải Abel đầu tiên năm 2003. Nội dung cuộc phỏng vấn sau đây cho chúng ta biết rất nhiều về ông, về quá trình làm Toán, cái nhìn của ông với thời cuộc…
Trong quá trình dịch tớ đành để nguyên một số thuật ngữ chuyên ngành, một phần vì không biết, một phần vì không biết nghĩa tiếng Việt. Có những từ không chắc nghĩa tiếng Việt lắm thì tớ có kèm luôn theo từ gốc tiếng Anh. Có lẽ cũng không ảnh hưởn̉g gì lắm, vì nếu như ai không biết định nghĩa thì tiếng Anh cũng như tiếng Việt, còn nếu biết rồi thì tất phải biết nghĩa tiếng Anh
Cao thủ nào biết những khái niệm đó thì góp ý/sửa dùm. Phỏng vấn Jean-Pierre Serre
1. Topo
Raussen & Skan: Trước hết chúng tôi xin chúc mừng nhân dịp giáo sư được trao giải Abel đầu tiên. Giáo sư khởi đầu sự nghiệp bằng một luận án về Topo đại số, vốn dĩ không phải là một ngành mới mẻ và chủ đạo lúc bấy giờ. Điề̀̀u gì đã khiến giáo sư lựa chọn đề tài đó?
Serre: Lúc đó tôi tham dự Cartan Seminar về Topo đại số́. Cartan không trực tiếp giao vấn đề cho học trò: ngược lại, họ phải tự lựa chọn lấy cho mình một đề tài, sau đó Cartan mới huớng dẫn. Tôi nhận thấy Lý thuyêt Leray ( về các fibre space và spectral sequence của chúng) có thể ứng dụng vào nhiều tình huống hơn ta tưởng, cụ thể có thể dùng để tính các nhóm đồng luân-homotopy groups.
R & S: Những phương pháp và kết quả mà giáo sư đã thu được trong luận án đã làm thay đổi lý thuyết đồng luân và đặt nó trong một cái nhìn hiện đại…
Serre: Chắc chắn là chúng mở ra được nhiều hướng mới. Trước đó ta hầu như không biết tí gì về nhóm đồng luân của mặt cầu, thậm chí ta còn không biết liệu chúng có phải là hữu hạn sinh hay không!
Một sản phẩm thú vị của phương pháp tôi đưa ra là đặc trưng đại số-algebraic character. Nó giúp tôi có thể thực hiện được các tính toán ìđịa phương”, ở đây từ địa phương được hiểu là tương đói với một số nguyên tố cho trước (trong Lý thuyết số).
R & S: Có phải một vấn đề quan trọng trong câu chuyện này của giáo sư là đi tìm một cái gì đó giống như fibre spaces mà cũng không hẳn thế…
Serre: Để có thể dùng được Lý thuyểt Leray tôi đã cần phải xây dựng các fibre spaces mà vốn dĩ không tôn tại nếu ta dùng định nghĩa thông thường. Cụ thể, với mỗi không gian X tôi cần một fibre space E với base X và nhóm đồng luân tầm thường (chẳng hạn, không gian co rút được-contractible). Nhưng làm thế nào xây dựng được nó?
Vào một đêm năm 1950 khi tôi đang trên tàu trở về nhà sau kỳ nghỉ hè, một ý nghĩ chợt hiện ra: chỉ cần lấy E là không gian các đường trong X ( với điểm đầu cố định a), phép chiếu E--- > X sẽ là hàm giá trị: đường --- > điểm cuối của đường. Khi đó fibre sẽ là loop space của (X,a). Hoàn toàn không nghi ngờ gì về ý tưởng đó, tôi thậm chí đã đánh thức vợ tôi dậy để kể lại câu chuyện… Điều ngạc nhiên là một xây dựng đơn giản như vậy lại có rất nhiều hệ quả.
2. Phong cách làm việc
R & S: Câu chuyện về ý tưởng bất ngờ của giáo sư gợi lại câu chuyện tương tự của Poincare khi ông ta bước vào đường xe điện, mà đã được thuật lại trong cuốn sổ của Hadamard ìThe Psychology of invention in the mathematical field ”.́ Giáo sư có cho rằng công việc của mình thường xuyên dựa vào những khoảnh khắc bất ngờ đó, hay vào những kết quả có tính hệ thống?
Serre: Có một số vấn đề tôi thỉnh thoảng quay lại với chúng (chẳng hạn, biểu diễn l-adic), nhưng tôi không giải quyết một cách có hệ thống. Tôi muốn được đi tiếp trên con đường mình đang đi. Những khoảnh khắc như trong câu chuyện kế của Hadamard tôi chỉ có vài đôi lần, hiếm lắm…Nhưng chúng thật tuyệt vời.
R & S: Chúng tôi nghĩ rằng những giây phút lóe sáng đó là hệ quả của những nỗ lực kiên trì…
Serre: Tôi sẽ không dùng từ ìnỗ lực”. Có thể đó là kết quả sau nhiều lần suy nghĩ. Cái đó không đến từ sự sáng suốt trong trí óc. Điều này được giải thích rất rõ trong cuốn sách ì A mathematician’s Miscellany” của Littlewood.
R & S: Hầu hết các kết quả của giáo sư ở ìthời kỳ Topo” đều phục vụ cho Lý thuyết số và Hình học đại số.
Serre: Các ông thấy đấy, tôi làm việc với nhiều vấn đề khác nhau, nhưng thực chất chúng đều có quan hệ với nhau. Chẳng hạn trong Lý thuyết số, Lý thuyết nhóm, hay Hình học đại số, tôi dùng các ý tưởng từ Topo như đối đồng điều-cohomology, bó-sheaves, và obstructions.
Do đó, tôi đặc biệt thích thú làm việc với các biểu diễn l-adic và dạng modular, là những lĩnh vực cần đến Lý thuyết số, Hình học đại số, nhóm Lie, q-mở rộng: một sự kết hợp tuyệt vời.
R & S: Giáo sư có trực quan vế hình học, hay đại số? Hay cả hai?
Serre: Tôi sẽ nghiêng về đạ̣i số, nhưng tôi hiểu ngôn ngữ hình học tốt hơn thuần túy đại số. Nếu tôi phải chọn giữa nhóm Lie và bi-algebra tôi sẽ chọn nhóm Lie! Tuy vậy, tôi vẫn không cảm thấy mình là một nhà hình học kiểu như Bott hay Gromov.
Tôi cũng thích giải tích, nhưng tôi cũng không thể tự nhận mình là một nhà giải tích được. Một nhà giải tích thực sự sẽ biết ngay lập tức cái gì là ìlarge”, ìsmall”, ìprobably small”,”provably small” (chúng khác nhau đấy nhé). Tôi không có trực quan đó; tôi phải ghi ra giấy những ước lượng tầm thường.
R & S: Giáo sư đã có một sự nghiệp dài và cũng đã làm việc trên nhiều lĩnh vực khác nhau. Giáo sư thích lĩnh vực nào nhất?
Serre: Một câu hỏi tế nhị. Liệu ông có thể hỏi một người mẹ rằng bà thích đứa con nào nhất không?
Tôi chỉ có thể nói thế này, có một vài báo của tôi rất dễ viết, và cũng có những bài cực khó. Trong những bài dễ viết có FAC (ìFaisceaux algébraiques cohérents”). Khi tôi viết nó, tôi có cảm giác như mình đang sao lại từ một quyến sách nào đó; hầu như không có chút nỗ lực nào. Về các bài viết khó, tôi nhớ là có một bài báo về nhóm con mở của profinite groups đã làm tôi khó nhọc đến mức cho tới cuối cùng tôi vẫn không biết là minh đang chứng minh một định lý hay đang đưa ra một phản ví dụ !. Một ví dụ khác là bài báo mà tôi đề tặng Manin, ở đó tôi có đưa ra một vài giả thuyết về các biểu diễn ìmodular” Galois (mod p); công việc này thật là nhọc nhằn. Sau khi viết xong, tôi mệt đến mức dừng việc đăng báo trong nhiều năm liền.
Có một bài báo khiến tôi rất hài lòng, đó là bài tôi đề tặng Borel, về tích tensor của các biểu diễn nhóm với đặc số p. Tôi đã từng là người yêu lý thuyết nhóm từ khi còn 20 tuổi. Tôi cũng đã dùng nhiều đến nhóm và có chứng minh một vài định lý về chúng. Nhưng cái định lý về tích tensor, cuối những năm 60 tuổi, đã khiến tôi rất khoái. Tôi có cảm giác rằng lý thuyết nhóm, sau 40 năm ve vãn, tán tỉnh, đã đồng ý cho tôi một nụ hôn.
S & R: Giáo sư đã làm việc rất tích cực hơn 50 năm. Một câu nói thường được mọi người trích dẫn của Hardy là ìToán học là một trò chơi của giới trẻ”. Chẳng nhẽ điều đó là sai-giáo sư có phải là một phản ví dụ không?
Serre: Không hẳn lắm. Các ông có nhận ra rằng hầu hết các trích dẫn về giải Abel đều liên quan đến những vấn đề tôi làm những năm tôi 40 tuổi không?
Có điều đúng là những người thuôc thế hệ tôi (Atiyah, Borel, Bott, Shimura…) tiếp tục làm việc lâu những ngườí thế hệ trước (ngoại trừ Élie Cartan, Siegel, Zariski). Tôi hi vọng là chúng tôi vẫn giữ được phong độ.
3. Lịch sử Toán học.
S & R: Chúng tôi muốn hỏi giáo sư một số câu hỏi về Toán học thời của Abel. Các phương trình đại số mà Abel và Galois nghiên cứu, đến từ lý thuyết chuyển dịch-transformation theory-của các hàm elliptic, về sau này đã chứng tỏ tầm quan trọng đối với lý thuyết số học-arithmetic-của các đường cong elliptic. Giáo sư có bình luận gì về sự kiện này, đặc biệt là trong mối quan hệ với những đóng góp của giáo sư?
Serre: Đúng, các đường cong elliptic rất hợp thời ( từ chương trình Langlands cho tới lý thuyết mã hóa). Trong những năm 60, 70, tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những điểm phân chia-division points-và nhóm Galois của chúng. Đó là một chò trơi giải trí: anh phải kết hợp các thông tin từ nhiều nguồn như phân tich Hodge-Tate, tame inertia, các phần tử Frobenius, các định lý hữu hạn của Siegel…
R & S: Hermite đã từng nói rằng Abel đã tạo việc làm cho các nhà Toán học trong 150 năm tiếp theo. Giáo sư có đồng ý như vậy không?
Serre: Tôi không thích những câu nói mạnh mồm kiểu như vậy. Nó chứng tỏ rằng người nói biết được những gì sẽ xảy ra trong thế kỷ sau. Thật là kiêu ngạo.
S & R: Trong lời mở đầu của một bài báo của Abel có viết rằng ta nên cố gắng phát biểu bài toán dưới một dạng mà có thể tìm được lời giải-một điều mà ông ấy khẳng định là luôn có thể làm được. Rồi ông ấy tiếp tục rằng việc diễn đạt tốt một bài toán sẽ chứa đựng những ý tưởng cho lời giải.
Serre: Một cách nhìn thật lạc quan!. Grothendieck sẽ rất tán thành nó. Bản thân tôi sợ rằng điều đó chỉ có thể đúng với các phương trình đại số, chứ không phải cho những vấn đề số học-arithmetic. Chẳng hạn, liệu Abel sẽ nói như thế nào về giả thuyết Riemann? Chẳng nhẽ bài toán đó vẫn chưa được phát biểu dưới dạng tốt nhất hay sao?
4. Vai trò của chứng minh
S & R: Khi làm toán, giáo sư có thể biết trước một khẳng định nào đó sẽ đúng trước khi tìm ra chứng minh hay không?
Serre: Tất nhiên rồi, đó là điều phổ biến. Nhưng ta phải biết phân biệt được những mục đích thật sự (chẳng hạn, về modular của các đường cong elliptic trong trường hợp của Wiles)- đó là những cái mà ta cảm giác chắc chắn đúng, với những mệnh đề phụ trợ (bổ đề, …)- là những cái mà có thể ta không xơi được (như đã xảy ra với Wiles), thậm chí có thể hoàn toàn sai (như đã xảy ra với Lafforgue).
R & S: Có phải chứng minh nào cũng có giá trị không? Chẳng hạn như chứng minh của định lý 4 màu-four color theorem?
Serre: Chúng ta đang tiến vào thời kỳ các chứng minh được trợ giúp bởi máy tính. Đó không phải là những chứng minh thông thường mà ta có thể kiểm tra bằng tay được. Chúng đặc biệt không thể tin tưởng được khi máy tính đưa ra một cái gì đó và khẳng định đó là một danh sách đầy đủ.
[Tôi nhớ năm 1990 có nhận được một cái danh sách như thế về các nhóm con với chỉ số cho trước của một nhóm rời rạc nào đó. Máy tính tìm được, ví dụ, 20 nhóm. Tôi không lạ gì với những nhóm này và tự mình tìm được bằng tay khoảng 30 nhóm con như vậy. Tôi gửi thư cho các tác giả kia. Họ tìm ra lỗi của họ, đó là họ đã thực hiện một chương trình tính toán ở Nhật, một ở Đức, nhưng quên mất mấy khâu trung gian…Rất điển hình]
Mặt khác, các chứng minh được trợ giúp bởi máy tính thường thuyết phục hơn những chứng minh dựa trên các biểu đồ mà được khẳng định là giao hoán, các mũi tên được giả sử là như nhau, và những lập luận được dành cho bạn đọc.
R & S: Thế còn chứng minh về sự phân loại các nhóm đơn hữu hạn thì sao?
Serre: Các ông đã chọn đúng câu hỏi rồi đó. Đã hàng năm nay tôi luôn tranh luận với các nhà lý thuyết nhóm, họ luôn khẳng định rằng ìĐịnh lý phân loại” là một định lý, tức là đã được chứng minh. Thực sự là đã có một thông báo như thế năm 1890 đưa ra bởi Gorenstein, nhưng người ta phát hiện ra một lỗ hổng sau đó ít lâu. Cứ mỗi khi tôi hỏi các nhà lý thuyết nhóm là lại nhận được câu trả lời ìỒ không, đó không phải là một lỗ hổng, nó chẳng qua là chưa được viết ra, nhưng đã có một bản thảo 800 trang chưa hoàn chỉnh về nó rồi”.
Thế có khác gì một lỗ hổng đâu? Tại sao không ai lại công nhận điều đó nhỉ? Rất may là hiện nay Aschbecher và Smith đang hoàn thiện một bản thảo dài khoảng 1200 trang để vá lỗ hổng đó. Chỉ khi nào nó được các chuyên gia kiểm tra xong thì chúng ta mới được nâng cốc chúc mừng.
R & S: Nhưng một chứng minh dài 1200 trang thì có ý nghĩa gì?
Serre: Cái chứng minh ấy thậm chí còn dài hơn 1200 trang- có thể gấp 10 lần như thế. Nhưng điều đó không có gì đáng ngạc nhiên: ngay cái nội dung định lý đã rất dài, vì để có í́ch hơn, nó cần phải đề cập đến những miêu tả chi tiết của không những các nhóm Chevalley mà còn cả 26 nhóm sporadic.
Đây là một định lý đẹp. Nó có rất nhiều ứng dụng bất ngờ. Tôi không nghĩ rằng việc sử dụng nó sẽ gây nên những phiền toái cho các nhà Toán học ở lĩnh vực khác:họ chỉ cần chỉ rõ trong chứng minh của họ phần nào có sử dụng đến định lý này.
5. Các bài toán quan trọng
R & S: Giáo sư có cho rằng có những xu hướng chủ đạo trong Toán học? Có vấn đề nào được cho là quan trọng hơn những vấn đề khác không?
Serre: Một câu hỏi tế nhị. Rõ ràng là có những lĩnh vực được cho là kém quan trọng: những lĩnh vực mà người ta chỉ loay hoay với một vài tiên đề và những phụ thuộc logic của chúng lẫn nhau. Nhưng ta không thể độc đoán về nó như vậy được. Đôi khi một lĩnh vực bị xem thường lại trở nên thú vị và có những mối liên hệ mới với các lĩnh vực khác.
Mặt khác, có những câu hỏi mà rõ ràng là trọng tâm để giúp chúng ta hiểu rõ hơn thế giới Toán học: giả thuyết Riemann và chương trình Langlands chẳng hạn. Cũng phải kể đến giả thuyết Poincare, mà có thể nó sẽ không còn là giả thuyết nữa nhờ Perelman!
R & S: Giáo sư có thông tin gì mới, hay linh cảm, về tính đúng đắn của chứng minh đó không?
Serre: Linh cảm ư? Ai quan tâm đến nó? Thông tin à? Không hẳn vậy nhưng tôi có nghe nói mọi người tại IHES (Institut des Hautes Études Scientific) và MIT (Massachusetts Institute of Technology) đang rất hào hứng với chứng minh đó. Điều thú vị của phương pháp của Perelman là nó đã dùng giải tích cho một bài toán thuần túy Topo. Rất đáng hoan nghênh.
R & S: Chúng ta đã chuyển dần sang các vấn đề trong tương lai với các thảo luận về giả thuyết Poincare. Giáo sư muốn vấn đề nào sẽ được giải quyết trong tương lai gần? Giáo sư có đồng ý với sự lựa chọn các bài toán để trao giải của viện Clay không?
Serre: A, các bài toán một triệu đô-la của Clay! Một ý tưởng lạ lùng: thưởng quá lớn cho một bài toán…nhưng làm sao tôi có thể chỉ trích nó sau khi chính tôi đã lãnh giải Abel? Tuy vậy, tôi vẫn có cảm giác có cái gì đó mạo hiểm, bởi mọi người sẽ sợ sệt khi nói về những kết quả chưa hoàn chỉnh, như đã từng xảy ra đối với bài toán Fermat 10 năm trước.
Tôi đồng ý với sự lựa chọn của Clay. Giả thuyết Riemann, giả thuyết Birch và Swinerton-Dyer rất xứng đáng. Giả thuyết Hodge cũng vậy nhưng với nguyên do khác: vẫn hoàn toàn chưa rõ ràng câu trả lời sẽ là khẳng định hay phủ định; điều tối quan trọng bây giờ là xác định xem câu trả lời sẽ là gì? Vấn đề P=NP cũng có tình cảnh tương tự, ngoại trừ người ta đã biết được rằng sẽ có rất nhiều ứng dụng nếu câu trả lời là khẳng định.
R & S: Giáo sư có thể giới thiệu một bài toán cùng tầm cỡ như thế không?
Serre: Như tôi đã nói chương trình Langlands là một trong những câu hỏi lớn của Toán học hiện đại. Nó không được xét trao giải của viện Clay có lẽ là vì rất khó có thể phát biểu nó một cách chính xác trong phạm vi cho phép.
R & S: Bên cạnh tài năng khoa học giáo sư còn được biết đến như một bậc thầy trong việc truyền thụ, như chúng tôi đã có dịp chứng kiến trong bài giảng của giáo sư hôm nay.
Serre: Cám ơn. Tôi đến từ miền nam nước Pháp, nơi mọi người ưa nói chuyện, không chỉ bằng miệng mà bằng cả chân tay, và trong trường hợp của tôi, với những viên phấn.
Khi tôi hiểu được một vấn đề gì, tôi có cảm giác là bất cứ ai cũng có thể hiểu được. Và tôi rất lấy làm hân hạnh được giải thích cho các nhà Tóán học khác, để trở thành học trò hay đồng nghiệp của họ.
Một vấn đề khác là một khẳng định sai sẽ làm cơ thể tôi khó chịu. Nếu tôi bắt gặp chúng trong một bài giảng tôi sẽ dừng người giảng bài lại; nếu tôi nhìn thấy chúng trong một tiền ấn phẩm, một bài báo, hay một quyển sách, tôi sẽ viết thư cho tác giả ( nếu tác giả đó lại là chính tôi, tôi sẽ ghi chú vào đó cho lần in sau). Tôi không dám chắc rằng chính thói quen này đã làm cho tôi trở nên rất đại chúng đối với mọi người.
6. Sự nhận thức và tầm quan trọng của Toán học
R & S: Toán học đã chứng kiến một sự bùng nổ củà các lĩnh vực mới làm cho việc tiếp thu nó cực khó khăn, dù chỉ là những lĩnh vực nhỏ. Mặt khác, giáo sư đã chỉ ra rằng các lĩnh vực khác nhau rất cần có các mối liên hệ. Vậy làm thế nào một nhà Toán học trẻ có thể đương đầu với sự bùng nổ này và tạo ra được những kết quả mới?
Serre: Ồ, tôi đã trả lời câu hỏi này trong một phỏng vấn của Intelligencer. Câu trả lời của tôi là: nếu anh chỉ thực sự quan tâm đến một câu hỏi cụ thể thì sẽ có rất it thông tin liên qua đến nó. Có nghĩa là anh sẽ phải tự mình mày mò lấy.
Về cái cảm giác ìbùng nổ” trong Toán học, tôi cho rằng Abel đã có cùng cảm giác ấy khi đi sau Euler, Lagrange, Legendre, Gauss. Nhưng ông ấy vẫn tìm được cho mình những câu hỏi và câu trả lời mới. Nó luôn luôn như thế. Không có gì đáng lo cả.
R & S: Một vấn đề hiện nay là rất nhiều các tài năng trẻ-cả những nhà lãnh đạo-không nghĩ rằng Toán học là quan trọng.
Serre: Đúng. Thật đáng buồn là có rất nhiều ví dụ như vậy.
Vài năm trước đây có một vị bộ trưởng Pháp (về nghiên cứu) đã phát biếu rằng Toán học đã trở nên vô ích vì giờ đây ta chỉ cần biết làm cách nào để gõ được các phím chữ trên máy vi tính. ( Chắc hẳn vị này nghĩ rằng các phím gõ và máy vi tính được mọc trên những ngọn cây…)
Tuy nhiên tôi vẫn rất lạc quan tin tưởng vào những bạn trẻ, những người đang khám phá và bị hấp dẫn bởi Toán học. Một hoạt động rất bổ ích của những ngày lễ trao giải Abel là có các cuộc thi giải Toán giành cho học sinh phổ thông.
7. Sở thích khác
R & S: Giáo sư có thể cho chúng tôi biết nhứng sở thích khác của mình ngoài Toán học?
Serre: Thể thao! Cụ thể là trượt tuyết, bóng bàn và leo núi. Tôi chưa bao giờ chơi tốt bất kỳ một trong những món này (chẳng hạn, khi tôi trượt tuyết, tôi không biết slalom, thế nên tôi cứ lao thẳng xuống thay vì rẽ sang hướng khác). Nhưng tôi rất khoái chúng.
Không biết có phải may mắn hay không, tuổi cao đã làm cho đầu gối tôi không làm việc được nữa (một bên đã bị thay thế bằng đồ giả), thành ra tôi phải dừng chơi thể thao. Tôi chỉ có thể leo núi bằng cách đưa các bạn tôi đến Fontainebleau và dụ dỗ họ leo lên những ngọn núi mà tôi có thể chinh phục được 10 năm trước đây. Vẫn vui nhưng không có được cảm giác thật.
Những sở thích khác:
Phim (Pulp Fiction là món khoái khẩu của tôi. Ngoài ra còn có Altman, Truffaut, Rohmer, The Coen brothers…)
Chơi cờ
Đọc sách (tất tần tật mọi thứ, từ Giono cho tới Boll và Kawabata, cả truyện thần tiên và các tập Harry Potter).
R & S: Chúng tôi, đại diện cho Hội Toán học Na Uy và Dan Mach, xin cám ơn giáo sư về cuộc phỏng vấn này.
Oslo, 7/2003.
Ghi chú:
Xin xem thêm thông tin tại
1. http://www.abelprise...49cd0763096cab7
2. http://www-groups.dc...ians/Serre.html
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canh_dieu: 14-02-2005 - 07:52
