Chủ đề này có 18 trả lời

[quantum-cohomology]

Something on (Co)bordism (wat i've known)
An SO-Structure on a manifold can be regarded as an orientation of its normal bundle. We can expand this example by successiveley killing homotopy groups. Recall that the homotopy groups of O are as follow (Bott peridiocity)
and that for positive i while . More precisely the fibration give an interesting tower of G-Structure and corresponding Thom spectra
Futher examples of (co)bordism are:
Complex bordism
Symplectic bordism
Symmetric bordism
Braid bordism

[Kakalotta]

Tưởng gì chứ cái này thì rất thú vị và đơn giản. Chỉ mong có một người quan tâm thì viết cụ thể thôi. Cụ thể hơn, nói tiếp về combinatoric và liên hệ với lý thuyết lượng tử hóa.
Cho X là một đa tạp symplectic với tác động Hamiltonian của xuyến T^n.
Xét P là polytope là ảnh của ánh xạ moment.
Khi đó ta có các sự tương ưng sau đây, liên hệ giữa combinatoric và hình học symplectic.
X<------------------------------------------------------------------>P
đa tạp symplecti<------------------------------------->đơn hình trơn đơn.
đa tạp đại số symplectic với kì dị kiểu obifold<------------>đơn hình không đơn.
giả thuyết của McMullen: Xét a_i là số mặt bậc i của đơn hình.
h_i là biến đổi h-transform, nhận được nhờ đặc trưng euler. Khi đó McMullen gả thuyết rằng h_i=h_{ n-i} và h_i đơn điệu tăng khi 0<i<n/2.
Đây là một vấn đề thuần túy combinatoric. Tuy nhiên Stanley, MIT lại chứng minh nó thông qua công cụ của hình học symplectic, cụ thể hơn thông qua symplectic reduction của Weinstein(Bẻkeley) để xây dựng một đa tạp synplectic với tác động xuyến. Giả thuyết của McMullen đuợc chứng minh một cách hoàn toàn hình học. Cụ thể, h_i=h_{ n-i} chính là đối ngẫu Poicare, với h_i là hạng của equivariant cohomology bậc 2i.
Tạm thế đã.
Cái này đã thấy hay chưa? Nếu còn cần nữa thì tôi sẽ trình bày 2 cách khác nhau chứng minh giả thuyết hình thức của Kontsevich, được giải Field năm 97, thông qua mo hình sigma và lý thuyết operad nếu ai quan tâm.

[lavieestunemerde]

Kontsevich, được giải Field năm 97,

Ê, hình như năm 97 không có giải thưởng Fields Với lại giả thưởng tên là Fields, không phải Field

Còn cái trên mình đọc cũng không hiểu gì vì không có đủ văn hóa tối thiểu làm Toán .

[Anh Co]

....
Đây là một vấn đề thuần túy combinatoric. Tuy nhiên Stanley, MIT lại chứng minh nó thông qua công cụ của hình học symplectic, cụ thể hơn thông qua symplectic reduction của Weinstein(Bẻkeley) để xây dựng một đa tạp synplectic với tác động xuyến. Giả thuyết của McMullen đuợc chứng minh một cách hoàn toàn hình học. Cụ thể, h_i=h_{ n-i} chính là đối ngẫu Poicare, với h_i là hạng của equivariant cohomology bậc 2i.

Kaka nên đọc bài của Stanley trước khi viết(Stanley, Richard P.The number of faces of a simplicial convex polytope. Adv. in Math. 35 (1980), no. 3, 236--238.).
Chứng minh giả thuyết McMullen của Stanley dựa trên hard Lefschetz theorem trong Hình học đại số chứ không liên quan gì đến symplectic reduction của Weinstein(Bẻkeley) cả !!
Ngay cả khi viết bài cho những người `ất ơ` như chúng tôi thì bạn cũng nên đầu tư ít công sức chứ đâu phải tuôn ra một đống các tên tuổi nổi tiếng để dọa người khác.

[Kakalotta]

Chính xác là dựa trên Hard Lipchit theorem, điều này đúng, nhưng trước khi áp dụng được kĩ thuật đó thì phải có được symplectic reduction của weinstein để có thể hình học hóa combinatoric. Bọn chỗ tôi đang làm seminar về cái trò này, tôi mới nghe cách đây hơn một tháng.
Giả thuyết cuat Kontsevich được chứng minh năm 97, và do đó được Fields năm 98.Topic này bắt đầu hay ho rồi đấy, tuy nhiên tôi sẽ không nói một chữ nào đến topo đại số trong topic này, để cho mọi người nói.

[Kakalotta]

Một đa tạp đại số xạ ảnh trơn thì được trang bị một cách tự nhiên một dạng symplectic gọi là dạng Fubuni-study, nên có thể coi la hinh học đại số cũng đúng, hình học symplectic cũng chả sai.

[Polytopie]

Cái McMullen G-theorem/conjecture với chứng minh cho điều kiện cần của Stanley đúng là thứ mình có biết (điều kiện đủ là Billera và Lee). Ngày xưa thì chả hiểu sự liên quan cụ thể của nó với hình học đại số vì không biết HHDS, bây giờ thì đã hiểu hơn. Hiện nay mình thấy mấy thứ ứng dụng trong vật lý dây này như Quantum Geometry đang combinatorics hóa. Stanley năm nay được mời Plenary talk ở ICM 2006 cũng vì cái chứng minh này đây.

[Anh Co]

Chính xác là dựa trên Hard Lipchit theorem, điều này đúng, nhưng trước khi áp dụng được kĩ thuật đó thì phải có được symplectic reduction của weinstein để có thể hình học hóa combinatoric. Bọn chỗ tôi đang làm seminar về cái trò này, tôi mới nghe cách đây hơn một tháng.
...Một đa tạp đại số xạ ảnh trơn thì được trang bị một cách tự nhiên một dạng symplectic gọi là dạng Fubuni-study, nên có thể coi la hinh học đại số cũng đúng, hình học symplectic cũng chả sai.

Như tôi đã viết chứng minh của Stanley làm hoàn toàn trong phạm trù đa tạp Toric , mà mấu chốt là hard Lefschetz theorem, không nhắc gì đến symplectic reduction của weinstein. Mà chính xác thì phải gọi là Marsden-Weinstein reduction không hiểu sao Kaka lại bỏ tên tác giả thứ nhất đi ?!.
Làm việc với Toric vareties có thể xét các kỳ dị rộng hơn là chỉ Orbifold singularity như với Symplectic manifolds chứ không phải hoàn toàn tương đương.
Không hiểu ông Weinstein có phải sư phụ của Kaka không(?!) mà bạn lại cãi chầy cãi cối, cái gì cũng cố vơ vào cho ông ta.

[Doraemon]

Tưởng gì chứ cái này thì rất thú vị và đơn giản. Chỉ mong có một người quan tâm thì viết cụ thể thôi.

Ông bác KK này ! Lý thuyết cobordism với vi phôi mặt cầu là chứng minh giả thuyết Poincare với n>4 của Smale đấy ! Bác Emmanuel gì đó làm khó KK quá !
Mà anh KK đừng lôi các tên tuổi ra dọa các đàn em nhé ! Không phải văn hóa toán tối thiểu lúc nào cũng chỉ là lý thuyết Lie, hh Sympletic, biểu diễn... của bác đâu bác ạ

[Kakalotta]

Vậy thế thì cho tôi hỏi một câu: bằng cách nào mà không dùng symplectic reduction lại có thể xây dựng được đa tạp xuyến từ polytope. Nếu Anhco trả lời được thì quả là đáng khâm phục. Định lý của Lipchits chỉ có thể được áp dụng sau khi hình học symplectic/ đại số phức được nối với combinatoric, cụ thể hơn là dùng dạng symplectic để nhúng các nhóm đối đồng điều cấp thấp vào các nhom ddd có chiều cao hơn, tuy nhiên không có symplectic reduction của weisntein thì khônng thể sử dụng được, vì đã có đa tạp đâu mà sử dụng?
Tất nhiên, mọi người cho rằng symplectic reduction là của weisntein và Mảden, nhưng cá nhân tôi thì cho rằng công của weinstein nhiều hơn.

[Kakalotta]

Tôi đồng ý là làm với các đa tạp xuyến thì có thể có các kì dị rộng hơn là kì dị kiểu orbiford, tuy nhiên, kì dị kiểu orbifold thì tương ứng với các polytope mà tại các đỉnh của nó số mặt nhiều hơn bình thường. Cụ thể hơn nếu một phức trong không gian n chiều có số mặt tại một đỉnh nào đó lớn hơn n thì sẽ xuất hiện kì dị loại này. Tôi nói đến loại kì dị này bởi vì nó dễ khảo sát, dễ hiểu, chỉ cần đến đối đồng điều CR hoặc đối đồng điều orbifold mà thôi, chứ không cần đến các bất biến đối đồng điều phức tạp cho các kỳ dị tổng quát như quantumcohomology. Cụ thể hơn, đối đồng điều CR là thành phần cấp 0 của đối đồng điều lượng tử, tuy nhiên việc định nghĩa thì dễ dàng hơn nhiều và nói chung là dễ làm. Còn nếu Anhco thích chơi kì dị loại tổng quát thì cũng được, nhưng lúc đó phải mất công xây dựng cả cỗ máy khổng lồ và tôi thì không có hứng định nghĩa tất cả mọi thứ để tất cả mọi người hiểu.

[Kakalotta]

To Doreamon: Nếu để ý kĩ thì sẽ thấy, Stanley làm về combinatoric, nhưng ông ta khi tấn công giả thuyết của McMullen thì lại sử dụng công phu của hình học symplectic. Vậy thì rõ ràng nó là một trong những văn hóa toán học còn gì? Tất cả những thứ này bạn bè của tôi thằng nào cũng biết, chỉ có là có làm hay không thôi.

[Kakalotta]

Hay đấy. Quan điểm của tôi vẫn là, một người làm toán thì phải biết được Witten, Connes, và Donalson là ai. Đó hiển nhiên là văn hóa toán học tối thiểu. Và Lazy gì đó nói những topic đó chả có bất cứ nội dung toán học nào cả thì tôi thật không thể hiểu nổi.
To Anhco: rất mong ý kiến làm thế nào mà có thể dùng định lý Lipchits mà không cần dùng đến hình học symplectic? Tôi đang ngồi chờ xem cách giải thích thế nào đây, hay chỉ là nhìn dăm ba chữ rồi lên đây vặn vẹo linh tinh oai?

[Anh Co]

Vậy thế thì cho tôi hỏi một câu: bằng cách nào mà không dùng symplectic reduction lại có thể xây dựng được đa tạp xuyến từ polytope. Nếu Anhco trả lời được thì quả là đáng khâm phục. Định lý của Lipchits chỉ có thể được áp dụng sau khi hình học symplectic/ đại số phức được nối với combinatoric, cụ thể hơn là dùng dạng symplectic để nhúng các nhóm đối đồng điều cấp thấp vào các nhom ddd có chiều cao hơn, tuy nhiên không có symplectic reduction của weisntein thì khônng thể sử dụng được, vì đã có đa tạp đâu mà sử dụng?

Xây dựng Toric variety từ polytope : Polytope --> fans rồi glue các affine Toric variety, đây là xây dựng cơ bản chẳng có gì đáng khâm phục (Xem Fulton). Các Toric variety được nghiên cứu từ giữa những năm 60(xem Mumford, ...Toroidal embeddings), có thể làm hoàn toàn HHDS mà không dùng gì đến Symplectic. Kaka hãy đọc các tài liệu tôi trích dẫn trước khi tranh luận tiếp. Nếu còn cãi chày cối thì tôi sẽ dừng ở đây.

Tất nhiên, mọi người cho rằng symplectic reduction là của weisntein và Mảden, nhưng cá nhân tôi thì cho rằng công của weinstein nhiều hơn.

Thật nguy hiểm khi bạn cho mình quyền được tước công lao của Marsden trong symplectic reduction . Hy vọng bạn không viết điều này vào bài báo !

[quantum-cohomology]

To Anhco:
Phần Toric Varieties đúng là có thể chỉ dùng AG kô cần symplectic gì, nhưng cũng có thể chỉ dùng symplectic mà không cần dùng AG. Tuy nhiên cả 2 cái đều khập khiễng, vì lãnh vực Toric Varieties ngày nay đều dùng cả 2 món AG và symplectic geometry thậm chí cả vật lý lý thuyết (nếu cần thiết).
--------------
Việc hình học đại số, hình học symplectic, tổ hợp, lý thuyết biểu diễn nhóm Lie nửa đơn, giải tích điều hòa, lý thuyết số, arithmetic, topo đại số, vật lý lý thuyết... bắt đầu hòa hợp với nhau thì không còn là chuyện lạ nữa. Tuy nhiên chả có ai có thể ôm đồm được cả 1 đống như thế được. Chỉ cần học đủ kiến thức cơ bản là vừa rồi, sau đó chọn 1 chuyên ngành mũi nhọn đi theo.

Thay vì cãi nhau, ai đó có thể trình bày lên đây cái symplectic reduction được không?

[Kakalotta]

Hiển nhiên một điều, đa tạp xuyến có thể được định nghĩa một cách tương đương nhau theo cả kiểu hình học đại số và symplectic. Vấn đề chính ở đây là, Motivation của tòan bộ lý thuyết xuất phát từ symplectic reduction của weinstein. Stanley là bạn đồng nghiệp của Guillemin, do đó đã sử dụng ý tưởng trong hình học symplectic từ ông này để làm. Tuy nhiên, khi gặp một vài khó khăn ở chỗ điểm kì dị, ông ta sử dụng alg. Geom như một ngôn ngữ để giải quyết cho tiện lợi, nhưng tất cả tư tưởng đằng sau đều có xuất phát điểm từ lý thuyết cua weinstein.
Tại sao lại như vậy, đó là bởi vì liên hệ giữa hai lý thuyết này xuất phát từ ánh xạ moment bên hình học symplectic, hay nguyên thủy hơn là từ đối xứng trong cơ học.

Tiện tay, anhco chê tôi tại sao lại không nói đến các điểm kì dị tổng quát, vậy xin cho hỏi một câu nho nhỏ. Đối với các điểm kì dị tổng quát không thuộc dạng obifold, đối ứng bên kia sẽ là dạng gì? Và một bất biến của các điểm kì dị là lý thuyết đối đồng điều lượng tử sẽ sinh ra bất biến gì với các polytope? Hi vọng chuyên gia này sẽ cho ý kiến.

[Anh Co]

Hiển nhiên một điều, đa tạp xuyến có thể được định nghĩa một cách tương đương nhau theo cả kiểu hình học đại số và symplectic. Vấn đề chính ở đây là, Motivation của tòan bộ lý thuyết xuất phát từ symplectic reduction của weinstein. Stanley là bạn đồng nghiệp của Guillemin, do đó đã sử dụng ý tưởng trong hình học symplectic từ ông này để làm. Tuy nhiên, khi gặp một vài khó khăn ở chỗ điểm kì dị, ông ta sử dụng alg. Geom như một ngôn ngữ để giải quyết cho tiện lợi, nhưng tất cả tư tưởng đằng sau đều có xuất phát điểm từ lý thuyết cua weinstein.
Tại sao lại như vậy, đó là bởi vì liên hệ giữa hai lý thuyết này xuất phát từ ánh xạ moment bên hình học symplectic, hay nguyên thủy hơn là từ đối xứng trong cơ học.

Tiện tay, anhco chê tôi tại sao lại không nói đến các điểm kì dị tổng quát, vậy xin cho hỏi một câu nho nhỏ. Đối với các điểm kì dị tổng quát không thuộc dạng obifold, đối ứng bên kia sẽ là dạng gì? Và một bất biến của các điểm kì dị là lý thuyết đối đồng điều lượng tử sẽ sinh ra bất biến gì với các polytope? Hi vọng chuyên gia này sẽ cho ý kiến.

To Kaka: Tôi không được là chuyên gia như bạn phong tặng và cũng không hiểu câu hỏi của bạn. Tôi chỉ biết về Đại số giao hoán và công việc của Stanley. Tuy nhiên thấy bạn phát biểu là ``Motivation của tòan bộ lý thuyết xuất phát từ symplectic reduction của weinstein`` thì hơi buồn cười. Tất nhiên quan niệm thế nào là quyền của mỗi người, nhưng tôi đang rỗi việc thì vào tranh luận cho vui thôi.

[Kakalotta]

Motivation của toàn bộ lý thuyết này đến từ symplectic reduction của Weinstein là chuyện rõ ràng và hiển nhiên. Đối ứng ở đây chính là ánh xạ moment, được xuất hiện lần đầu trong cơ học bởi Marden, sau đó được phát triển chủ yếu bởi Weinstein. Guillemin (MIT) đã sử dụng lý thuyết này cho một trường hợp rất đặc biệt, đó là nhóm tác động là một nhóm đại số giao hoán và phát triển đồng điều equivariant, và sau đó cuối cùng ý tưởng này lan đến Stanley khi ông này làm combinatorics. Ông ta mới modify lý thuyết symplectic reduction cho phù hợp trong việc giải quyết các điểm kì dị, và tại thời điểm đó thì các công cụ mạnh để giải quyết các kì dị như symplectic obifold, không gian phân tầng symplectic và các lý thuyết đối đồng điều đủ mạnh chưa được định nghĩa cho phạm trù symplectic. Mặc dù paper này được trình bày bằng hình học đại số, nhưng tư tưởng đằng sau của nó thấm đẫm lý thuyết của Weinstein và Guillemin. Khi thảo luận toán học thì không có ai nói về các kĩ thuật bên ngoài mà chỉ nói đến các Motivation. Tôi đã confirm điều này với một học trò của Guillemin. Anhco có thấy tức cười thì cũng được, nhưng sau khi cười song thì nhớ học lại hình học symplectic cho nó tử tế rồi đọc lại lý thuyết của stanley lại cho đến nơi đến chốn.

Tuy nhiên, như đã nói, trên diễn đàn này, tôi không thảo luận gì về lãnh vực quan tâm của mình và chỉ thảo luận những vấn đề thuộc về văn hóa toán học nói chung. Vì vậy, tôi sẽ chấm dứt khai thác khía cạnh hình học symplectic của vấn đề này, và sẽ chuyển sang khía cạnh hình học đại số/đại số giao hoán và combinatoric của lý thuýêt.

[Polytopie]

Mình có đọc qua cuốn Combinatorics and commutative Algebra của Stanley nhưng quả thật không nhớ có chỗ nào Stanley có nói đến Symplectic Reduction. Cũng có thể là ông ấy lấy motivation từ đó như Kaka nói- điều này mình không chắc.
Còn cái có thể nói chắc (nghe trực tiếp từ thầy mình- là học trò/người rất thân cận với Stanley hồi ở MIT) là khi Stanley sử dụng kết quả của Hard Lefschetz Theorem (Kaka để ý là Lefschetz và Lipschitz là 2 ông Do Thái khác nhau) để chứng minh điều kiện cần cho G-Conjecture của McMullen - thì chính Stanley cũng chỉ hiểu ù ù cạc cạc cái Hard Lefschetz Theorem đó. Và thực ra là vào thời điểm 1980 thì Hard Lefschetz Theorem được Lefschetz chứng minh sai (Lefschetz nổi tiếng là người luôn ra lý thuyết đúng, nhưng luôn tự chứng minh sai!! ), về sau đó mới có người khác chứng minh lại cho nó đúng. Do đó về sau kết quả của Stanley mới được coi là đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 27-06-2006 - 20:24