Chủ đề này có 1 trả lời

[tanlsth]

Tìm tất cả các hàm số sao cho:

[QUANVU]

Nhật Bản 2006

Trả lời:Các hàm thỏa mãn là :http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0,x^2+c với c là hằng số,và chỉ các hàm này mới thỏa mãn.
Giả sử f là hàm thỏa mãn.
+)Nếu f(x)=0 với mọi x thực,thử trực tiếp ta thấy hàm này thỏa mãn.

+)Trong trường hợp ngược lại ,tồn tại m để f(m) 0.Trong hệ thức ban đầu ta cho y=0 thì được http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=x^2+c với x B=imf(tập ảnh) và c=f(0).

Cũng trong hệ thức ban đầu thay y bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y}{2f(m)} và x bởi m ta được kết quả:Với mỗi y tồn tại a,b,c,d B mà y=a+b-c-d.

Từ đây suy ra f(y)=y^2+c với mọi y thực,thật vậy :
1)http://dientuvietnam...metex.cgi?f(a b)=(a+b)^2+c với a,b B.
Bởi vì thay f(x) bởi b và y bởi a trong hệ thức ban đầu.
2)http://dientuvietnam...metex.cgi?f(a b)=f((y+c)+d)=d^2+2(y+c).d+f(y+c)=d^2+2(y+c).d+c^2+2yc+f(y)=(c+d)^2+2y(c+d)+f(y)...

Đến đây xem như xong!