Cho là các số nguyên đôi một phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức bậc với các hệ số nguyên thỏa mãn 2 điều kiện sau :
(i) ;
(ii) bất khả quy .
Review all problems of Taiwan MO 1995
Taiwan MO 1995
Bắt đầu bởi Merlyn, 02-10-2006 - 11:13
#1
Đã gửi 02-10-2006 - 11:13
#2
Đã gửi 03-10-2006 - 15:36
Gọi http://dientuvietnam...metex.cgi?f(m_i)=-1. Bây giờ chỉ còn phải chứng minh f bất khả qui. Giả sử http://dientuvietnam...metex.cgi?f=g.h là phân tích của f thành tích của hai đa thức khác hằng với hệ số đều nguyên (bổ đề Gauss). Thế thì, ta thấy ngay hệ số cao nhất của g và h có thể chọn là 1. Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_{s+1},\cdots,m_n thì g nhận giá trị -1. Thế thì g-1 có các nghiệm là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_1,\ldots,m_s. Còn g+1 có các nghiệm là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_{s+1},\ldots,m_n. Như vậy http://dientuvietnam....cgi?g^2-1=(g-1)(g+1) chia hết cho đa thức http://dientuvietnam...ex.cgi?f=g^2-2. Nên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g|2, g phải là hằng số. Mâu thuẫn. Nên f bất khả qui. QED
#3
Đã gửi 03-10-2006 - 16:35
Cái kết quả bất khả qui này khá quen thuộcGọi .
Một số kết quả khác
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh