[2].Hai người chơi phân tích.Có số $270000=2^43^35^4$ trên giấy.Họ luân phiên thực hiện phép toán sau:Lấy một số N trên giấy,gạch nó đi,viết vào giấy hai số nguyên dương X,Y sao cho N=XY và (X,Y)>1.Ai không làm được điều này khi đến lượt của mình thì người ấy thua.Giả sử hai người đều chơi giỏi.Chứng minh rằng người chơi đầu có thể luôn thắng.
[3].Cho a,b,c là các số nguyên dương.Nếu gcd(a,b,c)=1 và $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$,hãy chứng minh a,b,c là các số chính phương.
[4].A,B,C,D,E,F nằm trên (O) theo thứ tự nguợc chiều kim đồng hồ,BD là đường kính và nó vuông góc với CF;CF,BE,AD đồng quy.M là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC,N là chân đường vuông góc hạ từ D xuống CE.Chứng minh rằng $\phi(n)=p^4$ với p là số nguyên tố.
[6].Cho x,y,z là các số thực dương.Chứng minh rằng $xyz(x+2)(y+2)(z+2)\leq (1+\dfrac{2(xy+yz+zx)}{3})^3$.
[7].A,B,C,D,E,F nằm trên (O) theo thứ tự nguợc chiều kim đồng hồ,tiếp tuyến l của (O) tại E song song với AC,giả sử DE>EF;l giao với BC,BD,CF,DF tại P,Q,R,S tương ứng.Chứng minh rằng PQ=RS khi và chỉ khi QE=ER.
[8].Chia tập {1,2,...,27} thành 3 tập rời nhau A,B,C sao cho |A|=|B|=|C|=9.Tìm số cách chia thỏa mãn điều kiện X,Y.Ở đây:
X=tổng các phần tử trong mỗi tập A,B,C là 1(mod 3).
Y=khoảng cách giữa hai phần tử bất kì trong mỗi tập A,B,C là khác 3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-08-2009 - 11:07