Chủ đề này có 19 trả lời

[toilachinhtoi]

Trong topic nay toi du dinh trinh bay mot it ve Co ban cua Dai so dong dieu. Vi kien thuc co han nen chac chan se co nhieu sai sot, mong cac ban bo qua. Rat mong nhan duo su tham gia cua cac ban.

References
1) Lecture notes in Algebraic Topology. Davis and Kirk.

2) Homology and cohomology theory. W S Massey.

3) Differential forms in Algebraic Topology. R Bott and W. Tu.

4) Algebraic topology via differential geometry. Karoubi and
Leruste.

5)An introduction to intersection homology theory. Kirwan.

6) Simplicial objects in algebraic topology. J Peter May.

7) A history of algebraic and differential topology 1900-1960. Jean
Dieudonne.

8) Lectures on algebraic topology. A Dold.

9) A user's guide to algebraic topology. Dodson and Parker.

10) Algebraic Topology. A Hatcher.

I) Some thing about covering spaces: About CW-complex use can see in Hatcher. In this part I recall some constructions that often occur.

1) Construction a cell complex with prescribed fundamental group
(Hatcher, p52): For every group $G$ there is a 2-dimensional cell
complex http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X_G with http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<g_{\alpha}|r_{\beta}> (the
generators are http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_{\alpha} with the relations http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r_{\beta}). Now we take http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X_G with 1 zero-cell, for each generator http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_{\alpha} we take a 1-cell http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^1_{\alpha}, and each relation http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r_{\beta} we attach a 2-cell http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e^2_{\beta} whose boundary is the 1-cells defined by
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r_{\beta}. Moreover we take the 1-skeleton of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_G the wedge sum http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<x,y|x^3=y^2=yxyx=1>. Then we can take http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_G with http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^0 is one point, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1,E_2,E_3 where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1 has the attach map take http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x winds three times, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_2 take http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y winds two times, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_3 takes http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?yxyx (y winds, then x winds then y winds then x winds).

[BũiLeAnh]

Tôi không thấy được cách chứng minh của bạn:
-Thứ nhất: liệu tất cả mọi nhóm đều có thể biểu diễn dưới dạng mà bạn viết.
-Thứ hai: giả sử điều trên đúng, tôi vẫn không thấy được cách xây dựng CW-complex của bạn thỏa yêu cầu.
Tôi chỉ mới bập bẹ về những thứ này nên muốn là rõ mọi thứ.

[toanhoc]

To BuiLeAnh: CM nay tu trong Hatcher: www.math.cornell.edu/~hatcher
Tat ca moi nhom deu co presentation duoi dang <generators/relations>. Dieu nay la he qua cua viec moi nhom deu la anh cua nhom tu do qua 1 toan cau. O Cm nay, ung voi moi generator ban co mot 1-cell vi cac 1-cells nay la generators cho \pi_1, sau do ung voi moi relations ban attach 1 2-cell de kill cai loop nay.
Xet vi du cua toilachinhtoi: attaching map cho x^3=1 co degree 3, cho y^2=1 co degree 2, con cai cho yxyx thi truoc khi attach ban cho S^1(as boundary of cell D^2) di qua 2 cai pinch maps truoc, roi thuc hien nhu toilachinhtoi mo ta.

[toilachinhtoi]

To BuiLeAnh: Proof of this construction is as toanhoc described. Informally, we can think of this as follows: Since http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^1 as the boundary of http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D^2), hence the 2-cells will kill the loops that is their boundaries.

2) Universal covering space (Hatcher, page 64): Let http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X be good.
Choose http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 a base point for http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?X. Then we construct http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} as follows:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma.

A base for topology in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} is the sets
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U runs in the open sets of http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?X.

3) Covering spaces: Let X and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} be as in 2). Then
for any subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_*(\pi_1(X_H,\tilde{x_0}))=H, where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{x_0} is a lift of
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_0 in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X}.

Proof: We define http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_H as the quotient of
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} by the following equivalent relation and is the
reverse of .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 06-11-2006 - 07:56

[BũiLeAnh]

Cảm ơn toilachinhtoi va toanhoc nhiều. Go ahead!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BũiLeAnh: 09-11-2006 - 01:18

[toilachinhtoi]

4) The action of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma be a path in http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X with end points http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 and http://dientuvietnam...imetex.cgi?x_1. Then if we choose a point in http://dientuvietnam....cgi?p^{-1}(x_0), we can lift http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\gamma uniquely to a path http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{\gamma} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} and we have an action
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1=p(\tilde{x_1}). Then we take http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_1 to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_0. Then we lift the curve http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{X} with the start point
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{x_1}. Then the end point of this lifted path is denoted
by .

5) Deck transforms: Let assumptions be as in 2),3) and 4). Then an
isomorphism is a
deck-transform if .

[toilachinhtoi]

6) Construction a universal covering space of a group (Cayley
complexes, Hatcher p 77):

Let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<g_{\alpha}|r_{\beta}> be a group. We construct a 2-cell
complex http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X as above. Then we construct a universal covering space
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} as follows: Let the vertices of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G} be
the elements of http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G themselves. Then at each vertex http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?g to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?gg_{\alpha} for each http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g_{\alpha} in the generators. Each relation http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r_{\beta} determines a loop and we
attach a 2-cell for each such loop.

In particular, we see that if the group http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G is finite then
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G} is finite.

Example: Let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_3=<x,y|x^3=y^2=yxy^{-1}x=1> and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_G be as above. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_G has one 0-cell e_0, two 1-cells X and Y, and three
2-cells http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1,E_2,E_3 where the boundary of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1 is X winding
3 times, the boundary of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_2 is Y winding 2 times, and the
boundary of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_3 is Y winding 1 time then X winding 1 time
then Y winding -1 time then X winding 1 time. Let
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0} define a lift of the 0-cell http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_0 of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_G. Also we will denote http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X} and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{Y} lifts of X and Y with the start point http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G}.
Since the elements of G are http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1,x,x^2,xy,x^2y,y, we have the
points in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G} will be http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0},\widetilde{e_0}x,\widetilde{e_0}x^2,\widetilde{e_0}xy,\widetilde{e_0}x^2y,\widetilde{e_0}y
(we can delete http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}, but the above presentation is more
convenient for us). Then since paths in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G} are lifts
of paths X and Y, we see that two points, say
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}\alpha and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}\beta are end points of a curve in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{X_G} iff http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}\alpha\stackrel{\widetilde{X}\alpha}{\rightarrow}\widetilde{e_0}\beta
(this means that we have a lift of X with the start point
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha). In the first case the path will be a lift of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y and we
denote it by
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}\alpha\stackrel{\widetilde{Y}\alpha}{\rightarrow}\widetilde{e_0}\beta
. For example we have 1 one-cell
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}yx\stackrel{\widetilde{Y}yx}{\rightarrow}\widetilde{e_0}x.
We can see from this writing as follows: the line http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{Y}yx
show that this is a lift of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y and the start point is
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}yx, and the end point is http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{e_0}x (note
that if we write all lower case then http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widetilde{Y}yx=yyx=x is very
the end point x).

[quantum-cohomology]

Đề nghị chủ nhân của cái Topic này trước hết sửa lại cái tên Topic cho nó đúng. Nếu định trình bầy đại số đồng điều thì phải ghi rõ homological algebra chứ không phải homology algebra. Thứ 2 Topic này nên đổi thành introduction to elementary topology, vì list books mà TLCT đưa ra toàn thấy topo đại số ( mặc dù có connection với homological algebra nhưng vẫn không phải là homological algebra ). Thứ 3 để giữ gìn sự trong sáng của homological algebra tôi đề nghị 1 thân chương trình thảo luận như sau:
1) Derived Funtors ( kèm ví dụ cụ thể về Ext, Tor, áp dụng vào hình học và topo)
2) homological Dimension ( kèm theo áp dụng vào local regular ring, cohen-macaulay, local cohomology...)
3) Spectral Sequence ( Bao gồm Serre, Larey-Hirsh, Hochschild, Atiyah-Hirzebruch Spectral Sequences)
4)Homology and cohomology of Lie algebra
5) Hochschild and Cyclic (co)homology
6) Derived Categories.
7) 1 số lý thuyết non-commutative cohomology, như Galois cohomology, noncommutative de Rham cohomology...
Nếu ai biết thêm Von Neumann Algebra nữa thì càng hay. Các đại cao thủ về Motivic Cohomology cũng được long trọng đón tiếp.

[madness]

Đúng là phải sửa lại thành basic homological algebra. Những gì đã được trình bày ở trên là basic algebraic topology, có thể tham khảo thêm từ cuốn của Hatcher.

Về derived functors, có một link viết rất cơ bản, cô đọng và dễ hiểu, trình bày luôn về exact functor, injective module, projective module, flat module, derived functor, Ext & Tor, injective dimension & global dimension. Rất thích hợp cho người mới bắt đầu, highly recommended: http://math.berkeley...chuwe/wh/hom.ps . Ngoài ra còn có một cuốn sách viết rất cơ bản và dễ đọc: Basic Homological Algebra, by M. Scott Osborne.

Còn có một bài viết hay khác về non-abelian group cohomology: http://math.berkeley...uwe/wh/gpcoh.ps

(Cậu LimChuWee này đã làm Ph.D. ở Berkeley xong, rất vui tính và tốt bụng, may mắn có dịp nói chuyện với cậu ấy vài lần, chỉ nhớ được có một câu: "Short notations are good, but you have to be careful about what you mean" ).

Về Serre Spectral Sequence, trong đây có một bài viết: http://math.berkeley.../215B/215B.html
Mình chưa đọc, nhưng đây là term paper của một khóa ở Berkeley, chắc cũng đáng để đọc .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi madness: 24-11-2006 - 07:40

[quantum-cohomology]

Được đấy tôi thấy cái short notes của madness rất tốt cho các newbie, vậy chúng ta thảo luận các bài tập vậy, ai có bài tập gì hay hay thì mang lên đây. Công nhận là cuốn Osborne dễ đọc, nhưng mà chữ in to quá. Tối nay tôi còn đang phải thức để chuẩn bị ngày mai lên gặp thầy nên chưa thể post bài gì dài được, sợ loạn mất. Mai mốt tôi sẽ mang vài bài tập lên đây nhân tiện thảo luận luôn lý thuyết về phần cohomology của Affine-, semi-simple Lie algebra và central Extension.

[quantum-cohomology]

Được đấy vậy thì chắc là có thể bắt đầu với Abelian Categories được rồi. Khởi động nhẹ nhàng tí:
1) Chứng minh rằng Sheaves(X) làm thành 1 abelian category
2) chứng minh rằng hàm tử Sheafification: + : Presheaf(X)--->Sheaf(X) là exact.
3) phép inclusion Sheaves(X) ---> Presheaves(X) left exact functor.

1 bài về Tor: chứng minh rằng với right ideal I và left ideal J.
Khởi động thế cái đã.

[TQFT]

Đừng có đọc bài của cái thằng viết về dãy phổ. Nó đếck biết gì về dãy phổ đâu. Term paper là một bài tổng quan kết thúc một môn học, và một học kì thì học 3-4-5 môn học như thế. Tất cả từ đọc cho đến khi gõ xong là trong vòng một tháng đấy, và một kì phải làm vài môn như thế.
Têrmpaper của tôi cũng có một đống. Cũng cái lớp học đấy tôi có viết một bài về đối đồng điều lượng tử.

[quantum-cohomology]

Vậy thì TQFT có thể up lên đây bài của TQFT về QC không? QC muốn tham khảo bài của TQFT.
------------
Có thêm bài tập nữa (dành cho ai thích twist lie algebra và đs đồng điều): 1)Cho g và h là 2 đại số lie, hãy xây dựng künneth formula. 2) cmr g-mod ( category của moduln over g đại số lie ) làm thành abelian category.

[cellist]

Topic mãi chưa đổi tên, từ đầu toàn thấy alg. topology làm gì có homological algebra đâu, mãi đến mấy bài của chú QC mới thấy bóng dáng người đẹp.

[quantum-cohomology]

Lại post tiếp bài tập, 1)Cho R là 1 vành local regular, k là residue field. cmr: (cái này chắc dùng Koszul resolution là ra), trong đó n = dim®. Từ đó hãy suy ra
.

2) Cho I là 1 ideal hữu hạn sinh của R (giả thiết là giao hoán và noether), R-->S 1 đồng cấu vành. cmr local cohomology với mọi S-module A. Từ đó hãy cm nếu .
Hãy discuss kết quả trên trong Hình học đại số.

[toilachinhtoi]

Đúng là topic này nên mang tên là Algebraic Topology. Nhưng mà có điều là tôi không sửa lại được tiêu đề nên đành chịu.
Dưới đây là tóm lược nội dung tôi dự định sẽ post. Nếu có bạn nào có ý post bài ủng hộ thì rất cảm ơn .
-CW complexes
-Homology and Cohomology
-Products
-Applied to smooth manifolds: intersection numbers
-Local coefficients
-Fibrations and Cofibrations
-Homotopy groups
-Characteristic classes
-Spectral

To QC: Nếu ghi là homology algebra cũng chưa hẳn là sai, như là người ta có thể dùng Abelian groups hay Abel groups vậy. Danh từ cũng có thể dùng như tính từ được.

[quantum-cohomology]

vậy thì khởi động với characteristic classes đi.

[toilachinhtoi]

To QC: Chắc khoảng tuần sau tôi sẽ mở một topic mới thảo luận về characteristics classes. Bắt đầu từ Stiefel - Whitney nhi?

Computing the boundary map of a CW-complex via the topological
degree:

Given a CW-complex structure $\{e_{\alpha},\chi _{\alpha}|\alpha \in
J\}$ of a space where $e_{\alpha}$ is a cell and $\chi_\alpha$:$(B^m,S^{m-1},s_0)\rightarrow (e^{\alpha},\partial
e^{\alpha}) \hookrightarrow (X^m,X^{m-1},x_0)$ where $X^m$ is the
m-skeleton of X. Let $e_\alpha$ be an m-cell and $e_\beta$ be an
(m-1)-cell. We will define a map
$h^{\alpha}_{\beta}:(S^{m-1},s_0)\rightarrow (S^{m-1},s_0).$ We
abuse the notation $\chi _{\alpha}$ to denote its restriction to the
boundary $\chi _{\alpha}:(S^{m-1},s_0)\rightarrow (X^{m-1},x_0).$
Now let $\stackrel{o}{e_{\beta}}$ be the interior of $e_{\beta}.$
Then denote $p:X^{m-1}\rightarrow
\dfrac{X^{m-1}}{X^{m-1}-\stackrel{o}{e_{\beta}}}$ be the projection
map. Since $\dfrac{X^{m-1}}{X^{m-1}-\stackrel{o}{e_{\beta}}}\sim
B^{m-1}/S^{m-2}\sim S^{m-1},$ we have a map
$h^{\alpha}_{\beta}=p\circ \chi _{\alpha}:S^{m-1}\rightarrow
S^{m-1}.$

Let $J_m$ denote the set of m-cells of X. Then the boundary map
$\partial :C_m(X)\rightarrow C_{m-1}(X)$ will be
$\alpha\mapsto \sum _{\beta \in J_{m-1}}deg(h^{\alpha}_{\beta})\beta.$

[quantum-cohomology]

Nói chung thì Whitney-Stiefel classes không interesting lắm đối với tôi, TLCT có thể beginn với Chern classes thì hay hơn. Ngoài ra thì Pontryagin classes cũng có lẽ là thú vị với vài topologist hay mathematical physicist ở diễn đàn này.

[toilachinhtoi]

To Quantum: Ok. Vậy tuần sau tôi sẽ bắt đầu. Nếu cậu thấy hứng thú thì cứ bắt đầu trước.

1) Chain complex: A sequence $\ldots\rightarrow C_{n+1}\stackrel{\partial _n}{\rightarrow}C_n\stackrel{\partial
_{n-1}}{\rightarrow}C_{n-1}\rightarrow\ldots$ of rings $C_n$ such that $\partial _n\circ \partial _{n-1}=0$, or shortly $\partial
^2=0$.

2) Tensors and Hom functors:

$A\bigotimes B$ is the free module generated by the relations
$a\times b=b\times a,~r(a\times b)=(ra)\times b=a\times (rb)$.

$Hom(A,M)=\{f:~A\rightarrow M\}$ the set of module homeomorphism.

Some properties:

a)
$A\bigotimes B=B\bigotimes A,R\bigotimes A=A,(\bigoplus A_{\alpha})\bigotimes B =\bigoplus (A_{\alpha}\bigotimes B),Hom(R,M)=M,$
$Hom(\bigoplus A_{\alpha},M)=\prod Hom (A_{\alpha},M),Hom (M,\prod A_{\alpha})=\prod Hom(M,A_{\alpha}).$

b) If $0\rightarrow A\stackrel{\alpha}{\rightarrow}B\stackrel{\beta}{\rightarrow}C\rightarrow 0$ then
$A\bigotimes M\stackrel{\alpha\bigotimes I_M}{\rightarrow}B\bigotimes M\stackrel{\beta\bigotimes I_M}{\rightarrow}C\rightarrow 0,
Hom(M,A)\stackrel{\alpha}{\rightarrow}Hom(M,B)\stackrel{\beta}{\rightarrow}Hom(M,C)\rightarrow 0,
Hom(A,M)\stackrel{\alpha}{\leftarrow}Hom(B,M)\stackrel{\beta}{\leftarrow}Hom(C,M)\leftarrow 0.
$

c) If A,B,C in b) are free then we can add 0 at the first
position for all three formulas.

3) Homology-Cohomology: Consider a chain. Then
$H_n=\dfrac{Ker~\partial (C_n\rightarrow C_{n-1})}{Im~\partial (C_{n+1}\rightarrow C_{n-1})},
H^n=\dfrac{Ker~\delta (Hom (C_n.M)\rightarrow Hom (C_{n+1},M))}{Im~\delta (Hom (C_{n-1},M)\rightarrow Hom (C_n,M))}.
$
Here $\delta~:Hom(C_n,M)\rightarrow Hom(C_{n+1},M)$ is the dual of
$\partial $: If $\varphi~:C_{n}\rightarrow M$ then $\delta (\varphi )=\varphi \circ \partial$.

Some properties:

a) If $0\rightarrow A_*\stackrel{\alpha}{\rightarrow}B_*\stackrel{\beta}{\rightarrow}C_*\rightarrow 0$ (that is a short exact sequence, and we always think this way, unless said otherwise), then we have (a long exact sequence)
$\rightarrow H_n(A_*)\stackrel{\alpha _*}{\rightarrow}H_n(B_{*})\stackrel{\beta_*}{\rightarrow}H_n(C_*)\stackrel{\partial}{\rightarrow}H_{n-1}(A_*)\rightarrow
,$
and
$\rightarrow H^n(C_*)\stackrel{\alpha *}{\rightarrow}H^n(B_{*})\stackrel{\beta_*}{\rightarrow}H^n(A_*)\stackrel{\partial}{\rightarrow}H^{n-1}(C_*)\rightarrow
.$
Here $\alpha _*$ is induced from $\alpha$, more exactly, $\alpha _*=\alpha$ modulo the cycles.

b) A space $X$ is acyclic iff $H_n(X)=0$ for n>0.