Chủ đề này có 5 trả lời

[quantum-cohomology]

Nhớ là hồi trước có bác nào mở cái topic về EGA rồi cơ mà nhỉ? Lục lọi mãi không thấy thôi thì mở thêm cái topic, đằng nào số lượng topic của bên box hinh hoc topo cũng chỉ bằng 1/3 so với bên giải tích. Mấy bộ EGA SGA GAGA đều có trên mạng, ta chỉ thảo luận ở đây àla Grothendieck (cái này chắc gãi đúng chỗ ngứa của bác Cellist). Ngoài ra tôi thấy 2 cuốn general theory of fibre spaces with sheaf structures và local cohomology cũng rất đáng nên xem (có lẽ đó là 2 cuốn tiếng anh duy nhất). Diễn đàn có bác nào kinh nghiệm với mấy cái GAGA SGA FGA EGA này thì vào đây giúp đỡ đi. Theo như program của Grothendieck có lẽ chúng ta nên bắt đầu với geometric galois theory, also discuss cũng như . Có lẽ câu hỏi ngớ ngẩn của tôi đầu tiên là, mấy cái nhóm Galois này "trông" như thế nào?

[quantum-cohomology]

học tập tấm gương của TLCT tôi take classical galois theory from my notes, để cho những người ít tiếp xúc với galois theory có lại 1 cái nhìn cơ bản.
Định nghĩa 1. 1 mở rộng trường K:k là 1 trường K với 1 trường con k. Đặc biệt trong đó ta có thể coi K là 1 k-không gian vector với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q} do đó đặc số 0 hoặc sẽ chứa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{F}_p do đó đặc số p.
Định lý 2. Cho http://dientuvietnam...cgi?a_1,...,a_n đại số trên k
(2) K:k là hữu hạn
(3) K: k là đại số.

Hệ quả là nếu K:k là 1 mở rộng và L là tập hợp các phần tử đại số trên k vậy thì L cũng là 1 trường, trong trường hợp này L được gọi là bao đóng đại số của k trong K. Ví dụ cụ thể nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q} vậy thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C} đóng đại số.

Cho K:k là 1 mở rộng, ta gọi K là bao đóng đại số của k nếu
a) K:k là mở rộng đại số
b) K đóng đại số.

Định lý nhúng: Cho K:k và L:k lần lượt 2 mở rộng thỏa mãn:
(1) L : k đại số
(2) K đóng đại số
Vậy thì tồn tại 1 đồng cấu trường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{k} là bao đóng đại số của k, và P 1 đa thức khác hằng số trong k[X], với các không điểm http://dientuvietnam...cgi?a_1,...a_n. ta gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{k} là bao đóng đại số của k, ta đặt G(K:k) = tập hợp các k-đồng cấu từ K vào bao đóng đại số của k, và định nghĩa bậc khả tách bằng với cardinality của G(K:k) = |G(K:k)|. Bậc khả tách cũng thỏa mãn công thức bậc như ở định lý 2 đã trình bầy.
Nếu K:k là 1 mở rộng đại số, ta gọi http://dientuvietnam...tex.cgi?K_{sep} = { x K : x separable over k} là bao tách của k trong K.

Định lý 10. Nếu K:k là 1 mở rộng hữu hạn tách được, vậy thì tồn tại 1 phần tử x K sao cho K = k[x].

Định nghĩa 11. Cho K:k là 1 mở rộng với đặc số p. 1 phần tử a K được gọi là pure inseparable over k nếu tồn tại 1 số e > 0 sao cho http://dientuvietnam...ex.cgi?K_{isep} = {x K : x pure inseparable over k}

Nếu K:k đại số và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\bar{K} bao đóng đại số của K. Ta đặt G(K:k) = {k-đồng cấu từ K vào bao đóng đại số của nó, và f|k = id}. Nếu thêm vào đó K:k là normal vậy thì G(K:k) = tập hợp các k-đồng cấu từ K vào K và fix các phần tử trên k, ta gọi nhóm này là nhóm Galois của mở rộng và ký hiệu là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Gal(K,k)

Tạm thời thế cái đã, có gì bàn cách tính nhóm Galois sau.

[cellist]

Tớ không biết tiếng Pháp nên vẫn móm không đọc mấy cuốn ấy được. Nhưng mà nói chuyện Gan gà thì Ok. Nhưng tớ chịu chả hiểu Gal(Q°,Q) vẽ ra được cái quái gì. Gal(Q°p,Qp) nếu bắt chước Shafarevich dựng cấu trúc trường cho 5 tiên đề Euclid thì chắc ra hình hoa xòe.

[quantum-cohomology]

Ái chà có vẻ hay rồi đây. Cellist xem trong Safarevich cuốn nào thế? 2 tập Basis hay bộ từ điển hình học đại số 5 tập? Nếu được Cellist có thể giải thích sơ sơ qua cái hình hoa xòe này không? Cái này quả thật QC chưa từng nghe.

[cellist]

Đâu mình đùa đấy. Cuốn của Shafarevich mình đọc là cuốn Basic notions of algebra. Cuốn này tóm tắt toàn bộ Algebra theo kiểu informal- giải thích ý tưởng là chính. Cái ví dụ Shafarevich dùng để cấu trúc một trường cho 5 tiên đề Euclid thì đơn giản thôi- không khác gì dùng Boolean Algebra cả.
Còn nhóm Gan gà thì mình chả tưởng tượng ra được hình quái gì.

[Alexi Laiho]

Lâu lâu mới vào diễn đàn thấy QC có vẻ khoái mấy trò abstract nonsense à la Grothendieck nhỉ. Mình cũng có vài vấn đề hiện tại cần đến Galois theory kiểu này, hy vọng mọi người giúp đỡ thêm. Cụ thể là Galois cohomology of purely transcendental extension (cái này có trong sách của Serre phần phụ lục), tuy nhiên ở đó chỉ xét trường hợp $K(T)$, và tổng quát hơn cho trường hợp nhiều biến $K(T_1,...,T_n)$ thì Serre chỉ viết là có thể tổng quát các kết quả bằng quy nạp. Xin hỏi ai đó có biết có cuốn sách hoặc tài liệu nào về trường hợp nhiều biến được viết 1 cách cặn kẽ và tỉ mỉ hơn không?