$f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ là hàm không giảm. Chứng minh rằng tồn tại $a\in\mathbb R$ sao cho $f(a+\dfrac{1}{f(a)})<2f(a)$.
#2
Đã gửi 11-01-2007 - 09:35
1001001
-
- Thành viên
-
- 334 Bài viết
Super Theory
Giả sử phản chứng tức f(a+1/f(a))>2f(a) với mọi a 
R.
Xét x>0 bất kì.
Xét dãy:
x[0]:=x.
x[n+1]:=x[n]+1/f(x[n]).
Từ giả thiết ta suy ra:
f(x[n+1])>2f(x[n])>2^(n+1)f(x) => lim f(x[n])= :inf => tồn tại a
R để lim x[n]=a (do |x[n+1]-x[n]|<=1/2^n).
Do f không giảm và (x[n]) là dãy tăng hội tụ về a nên:
f(x[n])<=f(a) với mọi n:in N.
=>Dãy (f(x[n])) bị chặn (mâu thuẫn). Vậy ta có đpcm là đúng.
R.Xét x>0 bất kì.
Xét dãy:
x[0]:=x.
x[n+1]:=x[n]+1/f(x[n]).
Từ giả thiết ta suy ra:
f(x[n+1])>2f(x[n])>2^(n+1)f(x) => lim f(x[n])= :inf => tồn tại a
R để lim x[n]=a (do |x[n+1]-x[n]|<=1/2^n).Do f không giảm và (x[n]) là dãy tăng hội tụ về a nên:
f(x[n])<=f(a) với mọi n:in N.
=>Dãy (f(x[n])) bị chặn (mâu thuẫn). Vậy ta có đpcm là đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1001001: 11-01-2007 - 09:36
My major is CS.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
