2 replies to this topic

[nthd]

Tìm số phần tử của tập hợp $ GL(n,\mathbb{Z}/p)$ các ma trận vuông cấp n, không suy biến, với các phần tử trong trường Z/p, trong đó p là một số nguyên tố.

[lehoan]

Thử cách này! hy vọng là đúng.
Ta có là bài toán trên tương đương với tìm số ánh xạ tuyến tính $f : V_n\to V_n$. với

$V_n$ là tập hợp các dãy $(a_1,a_2,...,a_n)$ mà $a_i\in Z/p$

thỏa mãn $f$ là đơn ánh. Mà $V_n$ hữu hạn chiều suy ra $f$ là song ánh.

Kí hiệu $W_n={(u_1,u_2,...,u_n)|u _i\in V}$ mà ${u_1,u_2,..,u_n}$ tính cả thứ tự là cơ sở của $V_n$. Khi đó ta có số ánh xạ $f$ bằng $|W_n|$


Ta có $u_1$ có $p^n-1$ cách chọn, $u_2$ có $(p^n-p)$, $u_3$ có $(p^p-p^2)$, $u_k$ có $(p^n-p^{k-1)$ cách chọn.

như vậy sẽ có tất cả $T=\pro\limits_{k=1}^{n}(p^n-p^{k-1})$ bộ ${u_1,...,u_n}$.

[toanA37]

Kí hiệu $W_n={(u_1,u_2,...,u_n)|u _i\in V}$ mà ${u_1,u_2,..,u_n}$ tính cả thứ tự là cơ sở của $V_n$. Khi đó ta có số ánh xạ $f$ bằng $|W_n|$

mình nghĩ chỗ này phải xem lại vì:
+ Một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định khi biết ảnh của một cơ sở
+ Nếu f là song ánh thì f biến cơ sở thành cơ sở
như vậy cùng một cơ sở nhưng với các hệ cơ sở làm ảnh khác nhau ta sẽ có các ánh xạ tuyến tính khác nhau. VD với 2 cơ sở chúng ta có thể có được 3 song ánh: $ id_{V}, f, f^{-1}$