Chủ đề này có 12 trả lời

[Kakalotta]

Hi tất cả các bạn.
Khi tính đối đồng điều (theo một nghĩa nào đó của một lý thuyết toán học nào đó) thì ta có thể sủ dụng công cụ dãy phổ, thông qua việc định nghĩa một dãy các double complex, cái sau là đối đồng điều của cái trước. Về mặt kĩ thuật, khi dãy phổ hội tụ (thuờng sau hữu hạn bước) thì ta có thể tính đối đồng điều của phức ban đầu và việc sử dụng công cụ này để tính toán theo tôi nghĩ thì có thể học được nhanh chóng nếu thực hiện trên một vài ví dụ cụ thể.
Tuy nhiên, cái tôi vẫn chưa hiểu đó là motivation của lý thuyết. Tại sao người ta lại sử dụng tên gọi dãy phổ cho nó? Theo tôi hiểu, Leray là người đầu tiên invent ra kĩ thuật này và theo mọi nguời nói thì Leray sư dụng các motivation từ bên giải tích, cụ thể hơn là từ lý thuyết phổ của toán tử. Tuy nhiên tôi vẫn chưa hiểu được connection này.
Đây có thể là một topic khá hay cho các bạn làm về topo đại số, giải tích hiện đại, đại số toán tử, hình học vi phân, hình học Poisson, hình học noncommmutative.... thảo luận?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ronaldo: 13-04-2007 - 19:48

[quantum-cohomology]

Tuy không phải chuyên gia về spectral sequences nhưng mình cũng xin phát biểu vài câu góp vui. Về motivation behind spectral sequences của Leray thì mình ko rõ lắm, nhưng dân Topo đại số đã biến dãy phổ thành đặc sản riêng của họ rồi. Mình học dây phổ cũng rất lởm khởm, thông qua cuốn Introduction to homological algebra của Weibel, và 1 số course về local cohomology à la Grothendieck. Bên giải tích thì ứng dụng của dãy phổ vào việc tính đối đồng điều Dobeault, cái này chắc Pizza là chuyên gia ở đây rồi. Theo những gì mình học bên hình học đại số thì thực ra trong 1 số tình huống người ta không nhất thiết phải dùng dẫy phổ bởi cái này quá phức tạp về mặt kỹ thuật (đặc biệt là các chỉ số, sau 1 lúc thôi là hoa mắt loạn nhịp tim), mấy người chỗ mình bảo là dẫy phổ chẳng qua chỉ là 1 kiểu rèn luyện sức tập trung và ý chí, vậy nên thường mình bỏ qua details và công nhận các kết quả của dãy phổ ngoài ra thì mình chỉ tập trung vào các geometric objects nên các kiểu kỹ thuật khổng lồ là thừa. Hơn nữa người ta thường có cách "lèo lách" sao cho không phải đụng tới spectral sequences, còn hiển nhiên là nếu ai nghiên cứu dẫy phổ thì phải dùng dẫy phổ rồi.
KK có thể nói precise hơn về connection của dẫy phổ với phổ của toán tử được không?
Khi so sánh cuốn Hartshorne với EGA mình có vài nhận xét: Grothendieck sử dụng chỉ số thỉnh thoảng khá là loạn lúc thì $E_1$ lúc thì $E_2$, cái này chắc tại mình không theo kịp nên loạn nhịp. Còn cũng là kết quả đấy thì Hartshorne có cách đi đường vòng đỡ dùng dẫy phổ, nhưng thường kèm theo 1 số điều kiện làm bài toán đơn giản hơn ví dụ như điều kiện thường hay thấy ở sách của Hartshorne là noethrian cho các schemes. Grothendieck thì chứng minh cho quasicompact topological spaces.
Nói tóm lại dân hình học hoặc giải tích phức thì không khoái dẫy phổ lắm, chỉ có dân làm topo thôi vậy nên đề nghị vài người làm topo trên diễn đàn vào cho vài ý kiến.
Ps: Cách nhìn nhận của mình thì tất nhiên là khá hạn hẹp vì không rõ các mối quan hệ với các ngành khác như thế nào

[Vegeta]

Tôi hiểu về dãy phổ như là khai triển taylor của một hàm số. Để tính được giá trị của một hàm, ta xấp xỉ nó bằng một đa thức, và để đối đồng điều cũng vậy. Điều này được hiểu như xấp xỉ toán tử đạo hàm bằmg các toán tử đạo hàm tác động lên các thành phần bậc hữu hạn của filtration. Tuy nhiên nghĩ mãi vẫn chưa nghĩ ra đuợc lý thuyết phổ.

[quantum-cohomology]

Học tập KK mình up vở học về dẫy phổ. Đây chỉ là dẫy phổ Atiyah-Hirzebruch. Enjoy!!! 1 cái để dạng PDF, cái kia JPEG

File gửi kèm

•  scan0001.pdf   1.72MB   9 Số lần tải

[Alexi Laiho]

Ối giời ơi ông QC, ông post bài tiếng đức thì bố ai mà hiểu được. Tôi ko hiểu ý của Vegeta lắm, nhưng viewpoint của tôi là nếu xét Đối đồng điều với hệ số là 1 trường thì nó là 1 không gian vector, do đó mỗi Filtration tương ứng 1 điểm trong 1 đa tạp Flag, say G/P. Do đó có thể hiểu dẫy phổ dưới quan điểm của lý thuyết nhóm.

Mọi lời của Alexi sác xuất sai tới 90%.

[Vegeta]

Chưa hiểu lắm điều này. Như vậy, một filtration can be viewed as một dãy các grasssmanian vô hạn chiều và các phép chiếu tương ứng. Mặt khác, Một đa tạp Grassmanian cùng lý thuyết phân thớ trên đó/ đối đồng điều của nó lại tương đương với lý thuyết biểu diễn cảm sinh parabolic và chắc đây là quan điểm từ bên lý thuyết biểu diễn nhóm, nếu đoán không lầm. Tuy nhiên điều quan trọng nhất là vai trò của toán tư vi phân của filtration thì chưa thấy được ttheo cách nhìn nhận này. Hơn nữa, trong hầu hết các filtration, số chiều đều là vô hạn, và do đó rất khó có thể nhìn nó theo quan điểm lý thuyết biểu diễn.



Some points
Algebraic topology <---------------------------------------------------->Analysis


Filtration and differential operator <----------------------------------> function
cohomology <-------------------------> value of function

Convergence of spectral sequence<---------------------------> Convergence of Taylor Series

H*_n(C,\delta)=E_n <-------------------------> f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+....n^n/n!.f^{n}(0)

$\delta=\sum \delta^{(n)}$ ,decomposition into part of filtrations <------------------------>$\Delta=sum D^n/n!$

$E^{p,q}_r=\dfrac{Z^{p,q}_z+C^{p+q+1}_{p+1}}{{B^{p,q}_z+C^{p+q+1}_{p+1}}$, modding out the p+1 component <--------------------->$C^\infty ( R )/<x^{p+1}C^\infty ( R )>$

tất cả những lời nói này sai 100%.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vegeta: 03-03-2007 - 08:52

[toanhoc]

http://www-math.mit....ow/spectral.pdf
Bai nay don gian nhung noi duoc y co ban cua spectral sequence. Toi nghi khong giong Taylor series. Khi noi convergence tuc la ban biet duoc asociated graded algebra cua thu can tinh thoi. Ban con phai xet bai toan extension nua. Tuy nhien, phan lon trong cac ung dung cac quotients la free modules nen khong can lo ve extension vi cac short exact sequence deu split.

[Vegeta]

A question that often comes up is where the term ìspectral” comes from. The adjective is due to Leray, but he apparently never published an explanation of why he chose the word. John McCleary (personal communication) and others have speculated that since Leray was an analyst, he may have viewed the data in each term of a spectral sequence as playing a role that the eigenvalues, revealed one at a time, have for an operator. If any reader has better information, I would be glad to hear it.
Chắc là cu cậu KK đọc cái đoạn này ra đây mà. Tuy nhiên, ca nhân tôi thì vẫn hiểu rằng, "the eigenvalues, revealed one at a time, have for an operator." cũng có thể hiểu trong taylor expansion context, the n-component of x^n, revealed one at a time, have for a function.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vegeta: 04-03-2007 - 10:57

[Alexi Laiho]

Nếu vậy thì các thuật ngữ Spectrum của vành trong hhds hoặc Spectrum trong topo đại số là từ đâu ra? Mình chả hiểu cái phổ của vành liệu có dính líu gì tới phổ theo nghĩa giải tích không? Có khi nào vì Grothendieck làm luận án PhD về Functional Analysis nên mới âu yếm phong tặng cho lược đồ cái tên phổ vành ko nhỉ? Ngoài ra thì cái spectrum bên topo đại số mình cảm thấy cũng kỳ quái.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 04-03-2007 - 10:26

[Vegeta]

Thì cũng là nó cả thôi. Tôi nhìn nhận vấn đề theo quan điểm của đại số toán tử, sau đó thì dùng nó để view hình học đại số.
Một C*-đại số A được xem như đại số hàm trên phổ của nó, spec(A). Phổ của một phần tử a của C*-đại số này chính là range của các character của đại số A, lấy giá trị tại điểm a. Hệ quả, phổ maximal của một đại số toán tử giao hoán, lấy giá trị tại một phần tử thì chính là phổ của phần tử đó.
Xét một biểu diễn của đại số toán tử A lên không gian Hilbert H, khi đó phổ của a sẽ chính là phổ hiểu theo nghĩa của giải tích hàm.
Tập hợp các character thì lại chính là tập hợp các maximal Ideal và do đó là phổ tối đại trong lý thuyết vành.

Dùng viewpoint này cho một đại số dạng hữu hạn, không lũy linh, ta thu được quan điểm của đại số giao hoán/hình học đại số. Tuy nhiên, cái khác hơn là bên Comm Alg/Alg Goem người ta quan tâm nhiều hơn tới topo của variety, do đó người ta xét tập các tập đóng, và đó là phổ nguyên tố. Sau đó người ta trừu tượng cho các scheme/algebraic spaces, và cắt luôn cái gốc của nó, nhưng đó là chuyện về sau và dân đại số không biết giải tích hàm nên thấy lạ lùng với điều này. Không biêt có phải Gronthendick lôi cái trò này từ bên giải tích hàm sang hhds hay không thì không dám chắc. Còn cái trò spectrum bên topo đại số xuất phát từ ý tưởng nào bên giải tích thì tôi chiu. Phải nghĩ đã.

Có một cái ý thế này vừa nảy ra, nếu ta thay hàm f(z) bởi f(e^it), ta thu được chuổi Fourier, và do đó, theo quan điểm của giải tích điều hòa trên nhóm compact địa phương, chuỗi Fourier là phân tích phổ của một biểu diễn thành các biểu diễn bất khả quy, nên chuỗi taylor cũng có thể được hiểu như là một dạng phân tích phổ. và điều này illuminate cái viewpoint trên về dãy phổ trong topo đại số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vegeta: 04-03-2007 - 11:19

[Alexi Laiho]

Thì cũng là nó cả thôi. Tôi nhìn nhận vấn đề theo quan điểm của đại số toán tử, sau đó thì dùng nó để view hình học đại số.
Một C*-đại số A được xem như đại số hàm trên phổ của nó, spec(A). Phổ của một phần tử a của C*-đại số này chính là range của các character của đại số A, lấy giá trị tại điểm a. Hệ quả, phổ maximal của một đại số toán tử giao hoán, lấy giá trị tại một phần tử thì chính là phổ của phần tử đó.
Xét một biểu diễn của đại số toán tử A lên không gian Hilbert H, khi đó phổ của a sẽ chính là phổ hiểu theo nghĩa của giải tích hàm.
Tập hợp các character thì lại chính là tập hợp các maximal Ideal và do đó là phổ tối đại trong lý thuyết vành.

Dùng viewpoint này cho một đại số dạng hữu hạn, không lũy linh, ta thu được quan điểm của đại số giao hoán/hình học đại số. Tuy nhiên, cái khác hơn là bên Comm Alg/Alg Goem người ta quan tâm nhiều hơn tới topo của variety, do đó người ta xét tập các tập đóng, và đó là phổ nguyên tố. Sau đó người ta trừu tượng cho các scheme/algebraic spaces, và cắt luôn cái gốc của nó, nhưng đó là chuyện về sau và dân đại số không biết giải tích hàm nên thấy lạ lùng với điều này. Không biêt có phải Gronthendick lôi cái trò này từ bên giải tích hàm sang hhds hay không thì không dám chắc. Còn cái trò spectrum bên topo đại số xuất phát từ ý tưởng nào bên giải tích thì tôi chiu. Phải nghĩ đã.

Có một cái ý thế này vừa nảy ra, nếu ta thay hàm f(z) bởi f(e^it), ta thu được chuổi Fourier, và do đó, theo quan điểm của giải tích điều hòa trên nhóm compact địa phương, chuỗi Fourier là phân tích phổ của một biểu diễn thành các biểu diễn bất khả quy, nên chuỗi taylor cũng có thể được hiểu như là một dạng phân tích phổ. và điều này illuminate cái viewpoint trên về dãy phổ trong topo đại số.

Này, tôi bắt đầu có vẻ hơi hiểu Vegeta hơn, sau khi đọc xong 1 bài viết về ý tưởng từ Grothendieck tới Connes và Kontsevich của P.Cartier.

[Kakalotta]

Post link cái bài của Cartier lên đây xem nào.,

[Alexi Laiho]

link đây:

http://www.institut....rcle/madday.pdf

tất nhiên là bài không nói details về C*-đại số hay spectral sequence, nhưng philosophy.