Chủ đề này có 1 trả lời

[Nia_T2]

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
y= $ {sinx}^{5} +\sqrt{3}cosx $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 07:15

[Ispectorgadget]

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
y= $ {sinx}^{5} +\sqrt{3}cosx $

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
y= $ {sinx}^{5} +\sqrt{3}cosx $

• GTLN

Vì $|\sin x|\le 1 ,\forall x\in R$ nên $\sin^5 x \le \sin^4 x,\forall x\in R \Rightarrow y=\sin^5 x+\sqrt{3}\cos x \le \sin^4 x+\sqrt{3}\cos x \forall x \in R$
Ta có $\sin^4 x+\sqrt{3} \cos x\le \sqrt{3}$
$$\Leftrightarrow \sqrt{3}(1-\cos x)-\sin^4x \ge 0\Leftrightarrow (1-cos x)[\sqrt{3}-(1-cos x)(1+cosx)^2]\ge 0$$
Theo AM-GM ta có $$(1-\cos x)(1+\cos x)^2 =\frac{1}{2}.(1-\cos x)(1+\cos x)(1+\cos x)\le \frac{1}{2}.[\frac{4}{3}]^3=\frac{32}{27}<\sqrt{3}$$
$\Rightarrow \sqrt{3}-(1-\cos x)(1+\cos x)^2>0$
Vậy $(1-cos x)[\sqrt{3}-(1-cos x)(1+cosx)^2]\ge 0$ (đúng)
$\Rightarrow y \le \sqrt {3},\forall x$ và khi $\cos x=1 (x=k2\pi)$ $k\in Z$ thì dấu "=" xảy ra .
Vậy max y $=\sqrt{3}$

• GTNN

Ta có $$\sin^5x +\sqrt{3}\cos x \ge -\sin ^4x+\sqrt{3}\cos x$$
Ta chứng minh $-\sin^4x+\sqrt{3} \cos x \ge -\sqrt{3} ,\,\, \forall x$
$$\Leftrightarrow (1+\cos x)[\sqrt{3}-(1+\cos x)(1-\cos x)^2]\ge 0\,\,\forall x$$
Xét $$(1+\cos x)(1-\cos x)(1-\cos x) =\frac{1}{2}.(2+2\cos x)(1-\cos x)(1-\cos x)$$
$$\le \frac{1}{2}.\frac{4^3}{3^3}=\frac{32}{27}<\sqrt{3}$$
Do đó $$\Leftrightarrow (1+\cos x)[\sqrt{3}-(1+\cos x)(1-\cos x)^2]\ge 0\,\,\forall x$$
Vậy min y=$-\sqrt{3}$
Đạt được khi $\cos x=-1$ hay $x=\pi +k2\pi, k\in Z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 11:17