Chủ đề này có 7 trả lời

[toilachinhtoi]

Định lý Brown và Adam phát biểu rằng cho một generalized cohomology theory trên CW complexes chúng ta có thể tìm được một không gian Y sao cho $H(X)\cong [X,Y]$. (Chi tiết sẽ được post trong những bài sau).

[toanhoc]

Ah day la Brown representability theorem. No noi rang "a nice enough functor is esentially Hom functor". Toi doan ban muon noi Y la 1 spectrum chu khong phai chi la 1 space. Co ban thi generalized cohomology theories va ly thuyet cac spectra la 1 (maybe a little naiive). Trong truong hop ordinary cohomology theory thi spectrum la E-M spectrum, complex K theory thi la BU spectrum.

[quantum-cohomology]

Chính xác Y phải là spectrum. Cái này xem trong sách của Adam generalized homology and stable homotopy.

[toilachinhtoi]

Brown và Adam chứng minh được cho Y là một CW complex.

Xem hai bài báo sau:

Brown, Abstract homotopy theory, Trans. AMS, 1965, 79--85
Adam, A vảỉant of Brown representability theorem, Tôplogy, Vol 10, 1971, 185--198

Tôi sẽ post tóm tắt các định lý và chứng minh sau này.

[Alexi Laiho]

Chờ mãi không thấy tlct post bài chứng minh định lý này, thôi thì tôi post vậy, cái này mấy em sinh viên năm thứ 2 chỗ tôi take course về topo đại số đều học hết rồii, sau đây là tóm tắt chứng minh định lý từ bài giảng.

1 số ký hiệu và quy ước: Gọi $W_n \subset \mathcal{T}op $ là 1 phạm trù con đầy của phạm trù các không gian topo, bao gồm vật là các không gian topo n-connected và có kiểu đồng luân của 1 cell complex. Cho $F : W_n \rightarrow \mathcal{D} $ là 1 hàm tử, ta gọi nó là 1 hàm tử nửa khớp nếu nó dẫn homotopy pushout trong pushout yếu. F được gọi là cộng tính nếu $F(\coprod_{i \in I} X_i) \simeq \coprod_i FX_i$ cho 1 tập chỉ số I hữu hạn, và gọi là cộng tính mạnh nếu tập chỉ số là tùy ý.

Cho $Y \in Obj(W_n)^{pt} $ là 1 vật trong pointed category, $F_Y = HoW_n^{pt}(-,Y): W_n^{pt} \rightarrow (Set^{pt})^{op}$ luôn là 1 hàm tử nửa khớp và cộng tính mạnh. F được gọi là có thể biểu diễn (representable) nếu F tương đương tự nhiên với $F_Y$, và Y được gọi là vật biểu diễn.

Định lý Brown: Mọi hàm tử nửa khớp cộng tính mạnh $F : W_0^{pt} \rightarrow (Set^{pt})^{op}$ đều có thể biểu diễn được.

Proof: ta gọi $(Y, \eta)$ là n-phổ dụng nếu với $\eta \in FY$ thì $\pi_kY \rightarrow FS^k$ là toàn ánh với $1 \leq k \leq n$ và là đơn ánh với $1 \leq k \leq n-1$. Cho $\mathcal{C}$ là 1 vật đối nhóm (cogroup-object) vậy thì $[\mathcal{C},Y]^{pt} \rightarrow F \mathcal{C}, \quad u \rightarrow (Fu) \eta$ là 1 đồng cấu nhóm. Chứng minh điều này là tầm thường chỉ việc check group law. Để chứng minh định lý Brown ta tiến hành các bước nhỏ:

(1) Xây dựng vật n-phổ dụng. Trường hợp n=1, điều này có nghĩa ta cm $\pi_1 Y \rightarrow FS^1$ là toàn ánh, ta đặt $Y = \vee_{a \in FS^1} S^1 $ do đó $\eta = (a)_{a \in FS^1} \in \prod_{a \in FS^1} FS^1 \simeq FY$. Cho trước 1 phần tử $b \in FS^1$ vậy thì đối với 1 phần tử

$[i_b: S^1 \rightarrow \vee_{a \in FS^1}S^1] \in \pi_1Y$ ta có $(Fi_b)\eta = pr_b((a)_{a \in FS^1}) = b$, suy ra tính surjective.
Bằng inductive ta giả sử đã xây dựng được vật (n-1)-phổ dụng ta xây dựng tiếp vật n-phổ dụng như sau: gọi $(Y',Y)$ là 1 relative cell complex trong đó $\eta '_{|Y} = \eta$, ta khẳng định rằng $(Y',\eta')$ là vật n-phổ dụng. Thật vậy gọi $K = Ker( \pi_{n-1}Y \rightarrow FS^{n-1})$, ta định nghĩa $\tilde{Y}$ là pushout của $(Y,D^{n-1})$ bởi $S^{n-1}$ ta đặt $Y' = \tilde{Y} \vee_{a \in FS^n} S^n , \quad \eta' = ( \tilde{\eta}, (a)_{a \in FS^n}) \in FY' $, vậy thì từ dẫy khớp đồng luân dễ dàng thấy $\pi_kY' \rightarrow FS^k, \quad u \rightarrow (Fu) \eta$ là 1 đẳng cấu nếu $k \leq n-1$ và là 1 toán ánh đồng cấu nhóm nếu $ k = n$ như ở trên đã thấy.

(2) ta xây dựng vật phổ dụng vô hạn ($\infty-$universal object). Gọi $(Y_i ,\eta_i)$ là các vật i-phổ dụng thỏa mãn $Y_0 \subset Y_1 \subset Y_2 \subset \cdots \quad \eta_i|_{Y_{i-1} = \eta_{i-1}}$, đặt $Y = colim_i Y_i$, tác động hàm tử F lên biểu đồ giao hoán homotopy pushout suy ra $\pi_k \simeq colim \pi_k(Y_i) \simeq FS^k$, do đó $(Y, \eta_{\infty})$ là vật phổ dụng vô hạn.
(3) Cho các dữ liệu như sau: $(Y, \eta)$ vật phổ dụng vô hạn, $K \subset L$ là 1 cell complex, $u: K \rightarrow Y$, $\lambda \in FL: \lambda_{|K} = (Fu) \eta$. Vậy thì tồn tại một $v: L \rightarrow Y$ sao cho $v|_{K} = u, \quad \lambda = (Fu) \eta$. Thật vậy gọi Z là 1 homotopy pushout, vậy thì tồn tại 1 relative cell complex có dạng (Y',Z) và 1 vật phổ dụng vô hạn sao cho khi hạn chế lên Z ta thu được 1 phần tử trong Z (giống như ta đã xây dựng ở bước 1 và 2). Ngoài ra không giảm tổng quát ta có thể coi ánh xạ Y vào Y' là 1 tương đương đồng luân yếu, $[S^k,Y] \simeq FS^k \simeq [S^k,Y']$, và do đó $[L,Y]^{pt} \simeq [L,Y']^{pt}$
(4) Bước cuối này ta chỉ việc kiểm tra injective và surjective của ánh xạ $Hotop^{pt}(K,Y) \simeq FK$. Tuy nhiên cả 2 điều này đều là hệ quả của 3 bước trên. QED

Định lý này cho ta thấy rằng, ứng với mỗi không gian topo X tồn tại 1 cell complex Y và 1 tương đương đồng luân yếu f : Y ---> X. (tầm thường)

Còn ngoài ra điều mà TLCT muốn chứng minh thật dễ dàng được suy ra từ định lý trên. Thật thế: Nếu gọi $E$ là 1 lý thuyết đối đồng điều cộng tính mạnh vậy đối đồng điều giản ước (reduced cohomology) $\tilde{E}$ thỏa mãn các điều kiện của định lý Brown vậy thì tồn tại vật $Y_q' \in W_0^{pt}$ và vật này biểu diễn đối đồng điều giản ước trên phạm trù $W^{pt}$. Đặt $Y_q = \Omega Y_{q+1}'$(loop space), vậy thì ta có

$\tilde{E}^q (X) \simeq \tilde{E}^{q+1}(\Sigma X) \simeq [\Sigma X, Y_{q+1}']^{pt} \simeq [X, \Omega Y_{q+1}' = [X,Y_q]^{pt}$

Như vậy chúng ta đã chứng minh xong khẳng định của TLCT 1 cách tổng quát cho mọi lý thuyết đối đồng điều cộng tính mạnh, không nhất thiết phải dùng cụ thể 1 loại đối đồng điều nào cả.

. Điều quan trọng của để hiểu và nắm được cái cốt lõi của định lý Brown đó là đối với hàm tử F như trên thì từ bất biến đồng luân, nửa khớp, và cộng tính mạnh sẽ suy ra tính khả diễn (có thể biểu diễn được, representable). Trên thực tế người ta hoàn toàn có thể dùng phổ (spectrum) để chứng minh định lý này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-05-2018 - 13:05

[Alexi Laiho]

Trịnh trọng xin mời anh TLCT vào đây tiếp tục đấu chưởng đi ạ. 1 ứng dụng quan trọng của định lý Brown này đó là việc phân loại các vector bundles, dẫn tới việc xây dựng BO,BU,MO,MU,BSpin,MSpin... xin anh TLCT vào đây đi tiếp vài đường nữa.

[Alexi Laiho]

Đã thành thông lệ, cứ bao giờ anh TLCT gặp phải vấn đề trên diễn đàn là anh ý vứt bỏ mũ giáp súng ống tháo chạy, chán thế. Như đã trình bầy ở trên về định lý biểu diễn của Brown, trong định lý khi áp dụng thì khoai nhất là phần bất biến đồng luân. Ở đây tôi xin nêu 1 ví dụ áp dụng định lý Brown vào lý thuyết phân loại các phân thớ vector, và motivation của K-theories, cái này thì giải tích 3 đã phải học rồi. Ta định nghĩa hàm tử pointed

$Vect^n_{pt}(X) = \{ \text{ pointed vector bundles over X with fiber of dimension n} \}/~$,

chú ý rằng trong phạm trù các phân thớ vector thì pull-back của 1 phân thớ tuy phản ứng giống 1 hàm tử phản biến (covariant), nhưng không chính xác với pointed phân thớ, nó chỉ chính xác tới 1 đẳng cấu. Và đối với pointed phân thớ thì hàm tử Vect định nghĩa như trên là nửa khớp, bất biến đồng luân và cộng tính mạnh. Áp dụng định lý Brown ở trên ta có $Vect^n_{pt}(X) = [X,Y_n]^{pt}$, trong đó $Y_n = BO(n)$ trên trường thực. 1 cách tổng quát hơn nếu gọi G là 1 nhóm topo, ta đưa vào hàm tử

$Prin_G(X) = \{ \tex{pointed G-principal bundles over X} \}/~ \simeq [X,BG]^{pt}$

Định nghĩa: 1 phổ là 1 họ các kg topo của 1 pointed topological space $(X_q)$ cùng với cấu xạ

$\varepsilon_q : \Sigma X_q \rightarrow X_{q+}$ cũng như là

$\varepsilon^q: X_q \rightarrow \Omega X_{q+1}$.

Nếu $\varepsilon^q$ là 1 tương đương đồng luân yếu thì phổ được gọi là Omega-phổ.

Để tiện lợi ta gọi trường mà chúng ta làm việc là $\mathbb{F}$, và chỉ giới hạn trong trường hợp thực, phức, quaternion. Vậy thì hàm tử Vect trên các pointed phân thớ vector sẽ đẳng cấu với pointed-GL_n(F)- principal bundles. Ta có các maps sau:

$Vect^{n,pt}_{\mathbb{F}}(X) \rightarrow Vect^{n+1,pt}_{\mathbb{F}}(X), \quad V \rightarrow V \oplus 1$,

tương tự đối với không gian phân loại, tuy nhiên lưu ý rằng với kg phân loại thì cấu xạ là phép bap:

$B_{\mathbb{F},n} \rightarrow B_{\mathbb{F},n+1} $.

Do cấu xạ là phép bao nên khi lấy đối giới hạn ta phải thêm đồng luân cho kg phân loại, điều này có nghĩa ta định nghĩa:

$B = hocolim_n B_{\mathbb{F},n}, \quad Vect^{pt}_{\mathbb{F}}(X) = colim_n Vect^{n,pt}_{\mathbb{F}}(X)$.

Tương tự với ý tưởng của Grothendieck ta nói 2 phân thớ vector được gọi là tương đương ổn định, nếu cộng thêm phân thớ tầm thường thì chúng đẳng cấu với nhau, điều này có nghĩa:

$V ~ W <=> V \oplus n \simeq W \oplus m$.

trong trường hợp nếu kg topo X là liên thông thì K-nhóm giản ước của nó được hiểu như

$\widetilde{K}_{\mathbb{F}^{0}(X)} = Vect^{pt}_{\mathbb{F}}(X) \simeq [X,B_{\mathbb{F}}]^{pt}$

và tổng quát thì:

$\widetilde{K}_{\mathbb{F}^{0}(X)} = [X, \mathbb{Z} \times B_{\mathbb{F}}]^{pt}$

Dễ dàng kiểm tra K-lý thuyết làm thành phổ nhờ định lý tuần hoàn Bott. Đây có thể xem như 1 ví dụ cụ thể về đối đồng điều suy rộng, lần sau tôi sẽ nói về đối đồng điều suy rộng 1 cách tổng quát thông qua việc xây dựng phạm trù cấu xạ Whitehead, được hiểu như tương đương với 1 lý thuyết đối đồng điều cộng tính mạnh cùng với 1 phép biến đổi tự nhiên trên phạm trù các vật n-connected spaces có kiểu đồng luân của 1 cell complex. Tuy nhiên có thể nhận thấy phạm trù Whitehead chưa đủ tốt, vì cấu xạ Whitehead ko cho phép ta thực hiện 1 số điều như mong muốn trên đồng điều, vậy nên ta phải mở rộng các phạm trù này lên, chứa đựng trong cách xây dựng này bao gồm cả dẫy phổ Adam-Novikov, đồng biên,... Nói 1 cách nôm na người ta muốn thực hiện các phép toán đại số đồng điều trên phạm trù Whitehead.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-05-2018 - 13:04

[toanhoc]

Bài viết của bạn hay, ngắn gọn, vào đúng tâm của vấn đề. Đấy là periodic K theory rồi. Bạn có thể trình bày cobodism theory chăng ?