Cho các số nguyên dương $a, b$. Chứng minh rằng: Nếu $4ab-1|(4a^2-1)^2$ thì $a=b$
Problem 5
Bắt đầu bởi HUYVAN, 26-07-2007 - 17:45
#2
Đã gửi 26-07-2007 - 20:52
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Bài này biến đổi một tí ta được $ 4ab-1 |(a-b)^2 $ rồi sử dụng nguyên lí cực hạn trong các nghiệm ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 26-07-2007 - 20:54
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#3
Đã gửi 27-07-2007 - 21:20
ThangTongHop
-
- Thành viên
-
- 176 Bài viết
Trung sĩ
Em thử post nốt đoạn sau
GS ta có cặp nghiệm có tổng nhỏ nhất với x khác y là (z,t) (z>t)
đặt $ (z-t)^{2} $=k(4zt -1)
Khai triển và đặt theo PT bậc 2 của z
$z^{2}- (2t+4kt)z+ t^{2}+k=0$
pt này còn 1 nghiệm z1 thỏa mãn đlý viet với z
z+z1= 2t+4kt (1)
z.z1= $ t^{2}+k $ (2)
Từ (1) thì z1 nguyên còn từ 2 thì cm được z1<y<z (lưu ý đến việc kẹp k)
như vậy ta tìm được 1 cặp nghiệm có tổng nhỏ hơn( vô lý)
Vậy x=y
GS ta có cặp nghiệm có tổng nhỏ nhất với x khác y là (z,t) (z>t)
đặt $ (z-t)^{2} $=k(4zt -1)
Khai triển và đặt theo PT bậc 2 của z
$z^{2}- (2t+4kt)z+ t^{2}+k=0$
pt này còn 1 nghiệm z1 thỏa mãn đlý viet với z
z+z1= 2t+4kt (1)
z.z1= $ t^{2}+k $ (2)
Từ (1) thì z1 nguyên còn từ 2 thì cm được z1<y<z (lưu ý đến việc kẹp k)
như vậy ta tìm được 1 cặp nghiệm có tổng nhỏ hơn( vô lý)
Vậy x=y
Cuộc sống không có gì nếu không cố gắng hết sức!
#4
Khách- khách_*
Đã gửi 27-07-2007 - 22:20
Khách- khách_*
Khách- khách_*
-
- Khách
Bài này đặt a- b = k.
Sau đó thay b = a - k vào biểu thức chia hết.
Sử dụng chia đa thức (4a^2 -1 ) / (4ab-1)
Số dư = 0
Suy ra k =0
Sau đó thay b = a - k vào biểu thức chia hết.
Sử dụng chia đa thức (4a^2 -1 ) / (4ab-1)
Số dư = 0
Suy ra k =0
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
