Giả sử R và r là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp của một tứ diện có thể tích là V . Chứng minh rằng :
$8R^{2}r \geq 3.\sqrt{3}.V$
#1
Đã gửi 30-09-2007 - 09:48
Harry Potter
-
- Hiệp sỹ
-
- 286 Bài viết
Kẻ Được Chọn
We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
#2
Đã gửi 10-10-2007 - 01:26
phandung
-
- Thành viên
-
- 252 Bài viết
Thượng sĩ
mình xin giải bài này như sau
gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD đặt BC=a AD=a' CA=b' AB=c CD=c' và $S_a$là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A tương tư cho các đỉnh còn lại
ta có $ \vec{AB} $=$ \vec{OB} $-$ \vec{OA} $ suy ra $AB^2$=2$R^2$-2$ \vec{OA} $$ \vec{OB} $ mặt khác ta lại có 4$ \vec{OG} $=$ \vec{OA}+ \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} $nên ta suy ra 16$OG^2$=16$R^2$-($a^2+b^2+c^2+a'^2+b'^2+c'^2$)$ \geq $0
mặt khác trong tam giác ABC ta luôn có $a^2+b^2+c^2$$ \geq $4$S_d$*$ \sqrt{3} $
cộng lại và thay $S_tp$=$ \dfrac{3V}{r} $ ta suy ra được dpcm dấu bằng xảy ra khi tú diện đều, xong
gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD đặt BC=a AD=a' CA=b' AB=c CD=c' và $S_a$là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A tương tư cho các đỉnh còn lại
ta có $ \vec{AB} $=$ \vec{OB} $-$ \vec{OA} $ suy ra $AB^2$=2$R^2$-2$ \vec{OA} $$ \vec{OB} $ mặt khác ta lại có 4$ \vec{OG} $=$ \vec{OA}+ \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} $nên ta suy ra 16$OG^2$=16$R^2$-($a^2+b^2+c^2+a'^2+b'^2+c'^2$)$ \geq $0
mặt khác trong tam giác ABC ta luôn có $a^2+b^2+c^2$$ \geq $4$S_d$*$ \sqrt{3} $
cộng lại và thay $S_tp$=$ \dfrac{3V}{r} $ ta suy ra được dpcm dấu bằng xảy ra khi tú diện đều, xong
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
