Chủ đề này có 12 trả lời

[vo thanh van]

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?

[nntien]

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số g�#8220;m tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?

Bài này tương tự một bài trong 360 problems của Titu Andreescu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 29-01-2008 - 19:45

[Bachthuongluu]

Bài này có ai có lời giải hoàn chỉnh ko ? Mỉnh ra công thức là 1 tổng nhưng chưa rút gọn được.Giải cũng khá dài.Ko biết có ai có lời giải ngắn post lên dùm mình ?

[Duck_Pro]

Bài này em tính các trường hợp bị loại --> Nhanh phết

[tanpham90]

Bài này em tính các trường hợp bị loại --> Nhanh phết

Chi tiết hơn chút đi bạn

[pi3.14]

Gọi các số phải tìm có dạng $\overline{a_1a_2...a_n}$

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.

Bước 1 Tìm tất cả các số chia hết cho 9

Có 10 cách chọn các chữ số $a_2$ , 10 cách chọn chữ số $a_3$, ... , 10 cách chọn chữ số $a_n$ ứng với các
cách chọn này có 1 cách chọn chữ số $a_1$ để thoả mãn bài toán. Vậy có $10^{n-1}$ số chia hết cho 9

Bước 2 Tìm số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó

Có 8 cách chọn $a_1$ các chữ số $a_2 ; a_3 ... a_{n-1}$ có 9 cách chọn,chữ số a_n có duy nhất 1 cách chọn.Do đó có tất cả $8.9^{n-2}$ số

Bước 3 Tìm số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy nhất một chữ số 9
Nếu số 9 đứng đầu: Có $9^{n-2}$ số($a_1$ và $a_n$ có 1 cách chọn)
Nếu số 9 không đứng đầu : Có $8.9^{n-3}.(n-1)$(Lấy số có$ n-1$ chữ số không có số 9 nào rồi thêm số 9 vào)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pi3.14: 29-01-2008 - 22:54

[Duck_Pro]

Cách của pi3.14 hình như sai rồi thì phải. Ở ngay cái dòng tìm tất cả các số chia hết cho 9 đó. Cách chọn vậy là sai rùi vì chỉ có duy nhất 1 cách chọn $a_{1}$ để $\bar{ a_{1}a_{2}...a_n}$ chia hết cho 9 thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duck_Pro: 29-01-2008 - 21:44

[tanlsth]

Em học lớp mấy rồi mà đếm sai hết vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 29-01-2008 - 21:45

[Duck_Pro]

Thực ra thì bài này làm theo cách của pi3.14 cũng được (chỉ cần chỉnh sửa cái chỗ chọn thôi - chỗ nào cũng phải sửa)

[toanpt]

Trông bài này có vẻ hàm chứa tư tưởng hàm sinh sau khi chuyển qua phần bù. Xét hàm
$F(x)=(x+x^2+\cdots+x^8)(1+x+x^2+\cdots+x^8)^k$
để tìm số số có k+1 chữ số chia hết cho 9 mà không có mặt chữ số 9, lưu ý định lý RUF.
Phần còn lại có đúng một chữ số 9 thì chọn vị trí cho số 9 rồi làm tương tự. Bận quá chưa kịp làm chi tiết. Mọi người thử xem sao.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanpt: 29-01-2008 - 23:20

[vo thanh van]

Bài này tương tự một bài trong 360 problems của Titu Andreescu!

Nói kiểu này chắc tìm chết mất.Anh tanlsth có lời giải thế nào?

[thanghe]

to toanpt: cach dung ham sinh cua cau lam sao khai trien ????????
No dau co de dau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanghe: 30-01-2008 - 18:13

[lehoan]

Cần gì phải dùng đệ quy nhỉ? :nemoflow:

1. Tính số các số ko có chữ số 9 nào và chia hết cho 9 (số loại 1).

Giả sử $m=\overline{a_1a_2...a_{2008}}$. Ta có $a_i=0,1,...,8$.

Ta có số $k=\overline{a_1a_2...a_{2007}}$ có $9^{2007}$ lựa chọn và $a_{2008}$ có duy nhất $1$ lựa chọn phụ thuộc vào $k$. Do đó ở trường hợp này số các số thỏa mãn là $9^{2007}$

2. Tính số các số có không quá 2008 chữ số chia hết cho 9và có 1 chữ số 9 (số loại 2).

Ta loại chữ số 9 đó đi và đi tính số các số có 2007 chữ số chia hết cho 9 và có 0 chữ số 9. Như trên ta có số các số đó là $9^{2006}$.

Nhưng ta có với mỗi số đó và số 9 thì cho ra $2008.9^{2006}$ số loại 2.

Vậy tổng cộng có $9^{2007}+2008.9^{2006}$ số cả hai loại 1 và 2.

Do đó số các số thỏa mãn bài toán ban đầu là $\dfrac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006}$