Chủ đề này có 1 trả lời

[mathematics_tholit2006]

Cho các số nguyên dương k, n thỏa mãn điều kiện $n > {k}^{2} + k + 1$ Giả sử n tập ${A}_{1}, {A}_{2}, ..., {A}_{n}$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
a) $|{A}_{i}|=k$ với $\forall i , 1\leq i\leq n$
b) $|{A}_{i}\bigcup {A}_{j}| = 2k -1 $ với mọi i, j ( $i \neq j, 1\leq i, j\leq n$)

Hãy xác định số phần tử của tập $\bigcup_{i=1}^{n}{A}_{i}$

______________
Ai nói hộ hướng nghĩ và lời giải của bài này với. Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathematics_tholit2006: 06-06-2008 - 23:25

[tanlsth]

Anh nói sơ thế này.Thực ra chỉ cần $n>k^2-k+1$ là đủ.

Sử dụng đẳng thức $|A \cup B|+|A \cap B|=|A|+|B|$ suy ra $|A_i \cap A_j|=1 , \forall i \neq j $

Từ đó $|A_1 \cap A_i|=1 , |A_1|=k$ nên tồn tại một phần tử của $A_1$ giả sử là $a$ thuộc ít nhất $\dfrac{n-1}{k}>k-1$ tập.

Gọi các tập đó là $A_2,A_3,..,A_{k+1}$

Giả sử tồn tại một tập $A_t$ không chứa $a$ thì $|A_t \cap A_j|=1 , \forall j=1,2,..,k+1, |A_t|=k $ nên tồn tại một phần tử của $A_t$ thuộc ít nhất $2$ tập,gọi phần tử đó là $x$ và thuộc $A_p, A_q, 1 \leq p,q \leq k+1$

Từ đó $| A_p \cap A_q|=2 $ (vô lí)

Vậy có 1 phần tử thuộc tất cả các tập trên suy ra $ |\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i|=1+n(k-1) $