Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c \ge 3$. Tim Min
$\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}$
Các anh giúp em bài này
Started By tuyenmo, 16-07-2008 - 15:14
#1
Posted 16-07-2008 - 15:14
#2
Posted 16-07-2008 - 17:28
Đặt $A=\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}$
Suy ra $A^2=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+2(\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}})$
Theo AM-GM ta có $\dfrac{a^2}{b}+c+\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \geq 4a$
Tương tự ta có $\dfrac{b^2}{c}+a+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \geq 4b$
$\dfrac{c^2}{a}+b+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \geq 4a$
Suy ra $A^2 \geq 3(a+b+c) \geq 9$ suy ra $A \geq 3 $
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Suy ra $A^2=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+2(\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}})$
Theo AM-GM ta có $\dfrac{a^2}{b}+c+\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \geq 4a$
Tương tự ta có $\dfrac{b^2}{c}+a+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\dfrac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \geq 4b$
$\dfrac{c^2}{a}+b+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \geq 4a$
Suy ra $A^2 \geq 3(a+b+c) \geq 9$ suy ra $A \geq 3 $
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#3
Posted 16-07-2008 - 19:50
Đúng là có nhìn thấy bài giải mới biết nó đơn giản. Có lẽ mình cần rèn luyện nhiều nữa.
@tanlsth: Cảm ơn anh nhiều.
@tanlsth: Cảm ơn anh nhiều.
#4
Posted 16-07-2008 - 21:54
bài này có trong tạp chí toán học tuổi trẻ nhưng tôi ko nhớ số nào
bạn có thể tham khảo trong các tập toán đó
bạn có thể tham khảo trong các tập toán đó
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users