Chủ đề này có 3 trả lời

[vuthanhtu_hd]

Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$.
a)CMR$\dfrac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\dfrac{z^{2}}{(z-1)^{2}} \geq 1$
b)Chứng minh đẳng thức xảy ra với vô hạn bộ ba số hữu tỷ(x,y,z)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 29-07-2008 - 18:23

[tanlsth]

http://diendantoanho...showtopic=40648

Trước khi post một bài đề thi thế này em nên tìm lại nhé

[Harry Potter]

My Solution :
a ) Đặt $a=\dfrac{x}{x-1}$ ; b và c xác định một cách hoán vị ^^
Có $abc=(a+1)(b+1)(c+1) --> ab+bc+ca+a+b+c+1=0
--> a^{2}+b^{2}+c^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca+a+b+c+1)=(a+b+c+1)^{2}+1 \geq 1$

b ) Ta xét ĐK xảy ra dấu bằng :
$a+b+c=1$ hay $\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{y}{y-1}+\dfrac{z}{z-1}+1=0 $ điều này tương đương với : $xy+yz+zx=3$
Ta chứng minh rằng có vô số bộ ba số hữu tỷ $(x;y;z)$ thỏa mãn :
$\left\{\begin{array}{l}xyz=1 (1) \\xy+yz+zx=3 (2) \end{array}\right.$
Từ (1) thay $x = \dfrac {1}{yz}$ vào (2) và đưa (2) thành tam thức bậc hai ẩn y :
$z^{2}y^{2} - y(3z - 1) + z = 0$
$\Delta = (3z - 1)^2 - 4z^3 = (z - 1)^2(1 - 4z)$
Chọn $z = \dfrac {1 - m^2}{4},|m| > 0$ m là một số hữu tỷ
Từ đây dễ thấy y và z hữu tỷ --> x hữu tỷ
Vì tập {m} là vô hạn --> (x;y;z) cũng là vô hạn --> ĐPCM

[vuthanhtu_hd]

Lời giải thật ngắn gọn. Bằng phương pháp sử dụng đẳng thức chúng ta có thể có nhiều bài toán thú vị .
Tiện đây xin post vài bài của Đào Hải Long tương tự như vậy.
CMR với $x,y,z\in R$($x,y,z$ phân biệt) thì

1) $\dfrac{x^{2}}{(y-z)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(z-x)^{2}}+\dfrac{z^{2}}{(x-y)^{2}} \geq 2$

2) $\dfrac{xy}{(x-y)^{2}}+\dfrac{yz}{(y-z)^{2}}+\dfrac{zx}{(z-x)^{2}} \geq \dfrac{1}{4}$

3)$\dfrac{1}{(x-y)^{2}}+\dfrac{1}{(y-z)^{2}}+\dfrac{1}{(z-x)^{2}} \geq \dfrac{9}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

4)$\dfrac{x^{3}-y^{3}}{(x-y)^{3}}+\dfrac{y^{3}-z^{3}}{(y-z)^{3}}+\dfrac{z^{3}-x^{3}}{(z-x)^{3}} \geq \dfrac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 12-09-2008 - 22:27