Chủ đề này có 10 trả lời

[thihoa_94]

Mở đầu với một bài trong đề thi khảo sát chất lượng đầu năm:
ĐỀ: cho 3 số a,b,c thuộc [0;2], a+b+c=3
cmr: a^2+b^2+c^2$ \leq $5
Giải: giả sử a: max{a;b;c} thì a thuộc [1;2]
ta có: (a-1)(a-2)$ \leq $0
a^2$ \leq $ 3a-2
S$ \leq $3a-2+(b+c)^2= (3-a)^2+3a-2=7+a^2-3a $ \leq $ 7+3a-2-3a=5.

ta có bài toán mạnh hơn a^3+b^3+c^3$ \leq $9 với điều kiện trên.
ta có 2 bài toán tổng quát sau :
1)cho a,b,c thuộc [0,2m] và a+b+c=3m, cmr:
a^n+b^n+c^n$ \leq $m^n+(2m)^n
với n là số nguyên dương, m là số thực cho trước.
2)cho a,b,c thuộc [p,q], a+b+c=3/2(q+p)
a^n+b^n+c^n$ \leq $p^n+((p+q)/2)^n+ q^n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 16-09-2008 - 23:31

[thihoa_94]

trước tiên ta sẽ giải bài 2) còn bài 1) chứng minh tương tự bài 2)
giả sử a$ \geq$b$ \geq$c
xét hiệu:p^n+ ($ \dfrac{p+q}{2} $)^2+q^2-a^n-b^n-c^n = (p-a)A+($ \dfrac{p+q}{2} $-b)B+ (q-c)C= (p-a)A+(q-c)C+ B(a+c-p-q)= (p-a)(A-B)+(q-c)(C-B)
mà p-a $ \geq $0, q-c$\leq$0
dễ dàng ta có A-B$ \geq $0, C-B$ \leq$0.
nên suy ra đpcm.
sau khi tìm được hai bài toán tổng quát hẳn ta sẽ muốn tìm những bài toán có thể đưa về dạng mạnh hơn, tiếp theo là bài toán khác để ta thử mở rộng:
cho 3 số a,b,c thuộc [0;1]
cmr: $ \dfrac{a}{1+bc} $ +$ \dfrac{b}{1+ac} $+$ \dfrac{c}{ab+1} $ $ \leq$2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 16-09-2008 - 23:58

[thihoa_94]

giải: trước hết ta có nhận xét sau: với mọi số x,y thuộc [0;1] thì (1-x)(1-y)$ \geq$0
hay 1+xy$ \geq$x+y
ta có S$ \leq$ $ \dfrac{a+b+c}{abc+1} $ (vì xyz+1$ \leq$xy+1 với x,y,z nhỏ hơn 1)
S$ \leq$ $ \dfrac{1+ab+c}{1+abc}$ $ \leq$ $ \dfrac{1+abc}{1+abc}$ $ \leq$ $ \dfrac{2+2abc}{1+abc} $ $ \leq $2.( từ và ab$ \leq$1)
rõ ràng có vai trò khá quan trọng trong lời giải của bài này. Bây giờ ta thử mở rộng với i số:$ i-1$+$ a_{1} $$ a_{2} $...$ a_{i} $ $ \geq$ $ a_{1} $+...+$ a_{i} $ điều này chứng minh được là nhờ vào .
như vậy ta có hướng mở rộng bài toán như sau:
cho $ a_{1} $, $ a_{2} $,...,$ a_{i} $ thuộc [0;1], i$ \in $N, i>1.
cmr: $S=\dfrac{a_{1}}{1+ a_{2}a_{3} ... a_{i}} +\dfrac{a_{2}}{1+a_{1}a{3}...a{i}}+...+\dfrac{a_{i}}{1+a_{1}a{2}...a_{i-1}}$$ \leq$$n-1$
việc chứng minh bài này cũng hoàn toàn tương tự khi i=3.
không dừng lại ở đây mấu chốt của bài này là x,y thuộc đoạn [0;1] thế với x,y thuộc [m;n] thì ta sẽ có bất đẳng thức nào tổng quát hơn? việc tự tổng quát hóa một bài toán sẽ làm bạn hiểu bài tốt hơn các bạn hãy sáng tạo thử xem!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 07-12-2008 - 14:05

[vuthanhtu_hd]

Em à ! bài mở đầu cùng 2 bài tổng quát đã có trên Toán Tuổi thơ trang 18 số 35 trong bài viết của bạn Hoàng Minh Tuân (Bắc Giang).

[shayne ward]

bất ngờ thật trường tui cũng cho một câu Bđt y chang trong đây. ko biết bài này post chưa, post rồi mọi người thông cảm
cho / ax^2+ bx +c/ h với mọi x [ -1,1]
cm rằng /a/ +/b/ +/c/ < 3h

[thihoa_94]

Em à ! bài mở đầu cùng 2 bài tổng quát đã có trên Toán Tuổi thơ trang 18 số 35 trong bài viết của bạn Hoàng Minh Tuân (Bắc Giang).

em biết nhưng nhân dịp có đề thi khảo sát của một trường nên em viết thôi nhưng bài tổng quát tiếp theo là do em tự làm đó nhân dịp thôi ( nếu các bạn cảm thấy phiền, không hay thì thông cảm cho mình)! à mình không thể đánh tex đoạn cuối mọi người thông cảm!
tiếp tục với một bài toán quen thuộc: Tìm max và min của (a+b+c)($ \dfrac{1}{a} $ + $ \dfrac{1}{b} $+ $ \dfrac{1}{c} $) với a,b,c thuộc [1;2]
giải: giả sử a$ \geq$b$ \geq$c
trước hết ta có nhận xét $ \dfrac{a}{c}$ $ \geq$2
và một bài toán nhỏ thú vị: x$ \geq$y nếu $ \dfrac{a}{b}$ $ \leq$ $ \dfrac{m}{n} $ thì $ \dfrac{a}{b} $+ $ \dfrac{b}{a}$ $ \leq$ m/n+n/m với m$ \geq$n>0; ab >0(*)
được chứng minh như sau
a/b $ \leq$ m/n, b/a $ \geq$n/m
(m/n- a/b)( n/m -b/a) $ \leq$0
phân tích thành hạng tử sau đó chia hai vế cho a/b.
ta được đpcm .
vậy thì a/c+c/a $ \leq $2,5.
mặc khác (1-c/b)(1-b/a) $ \geq $0
(1- b/c)(1- a/b) $ \geq $0
<=> 2+c/a+a/c $ \geq$ b/c+c/b+a/b+b/a
nên S$ \leq$3+2+2,5+2,5=10
dấu bằng xẩy ra khi a=2, b=c=1
còn minS=9.
tới đây các bạn sẽ nghĩ ngay đến một bài toán mạnh hơn với a,b,c thuộc [m;n] vì a,b,c thuộc [1,2] không đóng vai trò quan trọng lắm. và bài toán chính là chìa khóa của bài.
thế còn mở rộng không chỉ 3 số mà i số thì như thế nào? các bạn còn có những bài toán nào tổng quát và hay hơn không? để mọi người cùng tham khảo nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 18-09-2008 - 08:55

[vuthanhtu_hd]

Tìm max và min của (a+b+c)($ \dfrac{1}{a} $ + $ \dfrac{1}{b} $+ $ \dfrac{a}{b} $) với a,b,c thuộc [1;2]
giải: giả sử a$ \geq$b$ \geq$c
trước hết ta có nhận xét $ \dfrac{a}{c}$ $ \geq$2
và một bài toán nhỏ thú vị: x$ \geq$y nếu $ \dfrac{a}{b}$ $ \leq$ $ \dfrac{m}{n} $ thì $ \dfrac{a}{b} $+ $ \dfrac{b}{a}$ $ \leq$ m/n+n/m với m$ \geq$n>0; ab >0(*)
được chứng minh như sau
a/b $ \leq$ m/n, b/a $ \geq$n/m
(m/n- a/b)( n/m -b/a) $ \leq$0
phân tích thành hạng tử sau đó chia hai vế cho a/b.
ta được đpcm .
vậy thì a/c+c/a $ \leq $2,5.
mặc khác (1-c/b)(1-b/a) $ \geq $
(1- b/c)(1- a/b) $ \geq $0
<=> 2+c/a+a/c $ \geq$ b/c+c/b+a/b+b/a
nên S$ \leq$3+2+2,5+2,5=10
dấu bằng xẩy ra khi a=2, b=c=1
còn minS=9.

Anh thấy hơi lạ là trong bài toán trên vai trò $a,b,c $là không bình đẳng mà em lại giả sử $ a \geq b \geq c$ (!?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 17-09-2008 - 23:01

[thihoa_94]

hi em nhầm là 1/c chứ không phải là a/b( bài đó cũng quen thuộc thôi).
bạn Shayne ward có lẽ làm đc bài đó nhỉ bài đó cũng dễ ta chỉ cần thay f(x) lần lượt 0,1,-1 là bài toán coi như giải xong.
-h$ \leq$c$ \leq$h
-h $ \leq$ a+b+c $ \leq$h
-h$ \leq$ a-b+c $ \leq$h.
giải một lúc ta đc đpcm |a|+|b|+|c|<3h.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 18-09-2008 - 09:02

[vuthanhtu_hd]

Tổng quát với a1,a2,...,an thuộc [p;q] ($p,q \geq 0$) thì
$n^{2}\leq (a1+a2+...+an)(1/a1+1/a2+...+1/an) \leq n^{2} +\alpha\dfrac{(p-q)^{2}}{4pq}$
trong đó $\alpha= n^{2}$ với n chẵn và $n^{2}-1$ với n lẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 18-09-2008 - 12:22

[thihoa_94]

Cho a, b,c là ba cạnh của một tam giác có cạnh huyền là a.CMR với n $\in $N n$\geq $ 2 suy ra a^n$\geq $ b^n+ c^n
tìm bài toán tổng quát?

[vuthanhtu_hd]

Cho a, b,c là ba cạnh của một tam giác có cạnh huyền là a.CMR với n $\in $N n$\geq $ 2 suy ra a^n$\geq $ b^n+ c^n
tìm bài toán tổng quát?

Ta có $0<\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{a}<1$ nên
$(\dfrac{b}{a})^{n}+(\dfrac{c}{a})^{n} \leq (\dfrac{b}{a})^{2}+(\dfrac{c}{a})^{2}=1$
Vậy $a^{n} \geq b^{n}+c^{n}$
P/S :Đề bài thiếu cho a,b,c là ba cạnh tam giác vuông ^ ^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 30-09-2008 - 21:44