Dự định của mình là sẽ post 4 bài giảng lớn của các thầy mà mình đc học (có chọn lọc) và một số bài tập. Mong mọi ngưởi cho ý kiến
Lưu ý Trong topic này ta chỉ xét các số trên tập Z vì vậy nếu hok nói chi thêm thì các số đó là số nguyên
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC
1.1 Định nghĩa : cho số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b cho m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modulo m
$=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( r< m) $
khi đó ta kí hiệu $a \equiv b \pmod{m}$
1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
i, $ a \equiv b$
ii, $m|(a-b)$
iii, $\exists t \in \mathbb{Z} : a=b +mt$
Ba mệnh đề trên ta dễ dàng cm đc bằng định nghĩa.
1.3 Tính Chất. Hệ quả
1. phản xạ: $a \equiv a \pmod{m}$
đối xứng: $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m}$
bắc cầu: $a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)$
2. Ta có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m với nhau: $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_{k} \in {1, -1} => \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} a_{k} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} b_{k} (modm)$
3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : $a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_{k=1}^{n}a_{k} \equiv \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k} (modm)$
*hệ quả:
a, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)$
$b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)$
$c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)$
điều ngược lại chỉ đúng khi (m,c)=1
d, $a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)$
$e, a \equiv b(modm) => a^{n} \equiv b^{n} (modm)$
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 khi đó $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (modm)$
5. Nếu d\ (a,b,m) khi đó $a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d} (mod \dfrac{m}{d})$
6. $a \equiv b( mod m_{k} ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod [m_{1}, m_{2},..m_{n}])$ ở đây $[m_{1},...m_{n}]$ là bội chung nhỏ nhất của $m_{1}, m_{2},..m_{n}$. Đây là tc khá quan trọng và có ứng dụng khá lớn.
7. nếu $a \equiv b (modm)$ thì tập hợp ước chung của a và m (X) bằng tập ước chung của b và m (Y)
CM : cm $X \subset Y$ và $Y \subset X$
giả sử $x \in X$ khi đó a,m chia hết cho x mà a-b chia hết cho m => a-b chia hết cho x, do a chia hết cho x => b chia hết cho x => x là ước chung của b và m => $x \in Y => X \subset Y$
tương tự ta sẽ cm đc $Y \subset X => X=Y$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các tính chất và hệ quả đc cm khá đơn giản bằng định nghĩa vì vậy mọi người có thể tự cm ( nếu hok cm đc cái nào có thể mạnh dạn hỏi mình sẽ giải đáp cho)
TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 08-09-2011 - 13:08